Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60466 / 40034
↖ ↑ ↗
← N 57.180925°
W 13.925171°		 ← 165.54 m → N 57.180925°
W 13.922424°		 →
↑
165.58 m
↓
↑
165.58 m
↓
N 57.179436°
W 13.925171°		 ← 165.54 m →
27 411 m²		 N 57.179436°
W 13.922424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461322784423828 y=0.305438995361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461322784423828 × 217)
    floor (0.461322784423828 × 131072)
    floor (60466.5)     		tx = 60466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305438995361328 × 217)
    floor (0.305438995361328 × 131072)
    floor (40034.5)     		ty = 40034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60466 / 40034 ti = "17/60466/40034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60466/40034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60466 ÷ 217
    60466 ÷ 131072     		x = 0.461318969726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40034 ÷ 217
    40034 ÷ 131072     		y = 0.305435180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461318969726562 × 2 - 1) × π
    -0.077362060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24304008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305435180664062 × 2 - 1) × π
    0.389129638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.22248681411067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24304008} λ = -0.24304008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22248681411067))-π/2
    2×atan(3.39562152215859)-π/2
    2×1.28439586649142-π/2
    2.56879173298284-1.57079632675     		φ = 0.99799541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24304008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.925171°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99799541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.180925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60466 KachelY 40034 -0.24304008 0.99799541 -13.925171 57.180925
    Oben rechts KachelX + 1 60467 KachelY 40034 -0.24299214 0.99799541 -13.922424 57.180925
    Unten links KachelX 60466 KachelY + 1 40035 -0.24304008 0.99796942 -13.925171 57.179436
    Unten rechts KachelX + 1 60467 KachelY + 1 40035 -0.24299214 0.99796942 -13.922424 57.179436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99799541-0.99796942) × R
    2.59900000000313e-05 × 6371000     		dl = 165.582290000199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99799541-0.99796942) × R
    2.59900000000313e-05 × 6371000     		dr = 165.582290000199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24304008--0.24299214) × cos(0.99799541) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.541988023489957 × 6371000     		do = 165.537093145545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24304008--0.24299214) × cos(0.99796942) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.542009864944508 × 6371000     		du = 165.543764087964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99799541)-sin(0.99796942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541988023489957-0.542009864944508)×R²
    abs(-0.24299214--0.24304008)×2.18414545511969e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18414545511969e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18414545511969e-05×40589641000000     		ar = 27410.5632596382m²