Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60465 / 84086
↖ ↑ ↗
← S 45.317392°
W 13.927918°		 ← 214.77 m → S 45.317392°
W 13.925171°		 →
↑
214.70 m
↓
↑
214.70 m
↓
S 45.319323°
W 13.927918°		 ← 214.76 m →
46 111 m²		 S 45.319323°
W 13.925171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461315155029297 y=0.641529083251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461315155029297 × 217)
    floor (0.461315155029297 × 131072)
    floor (60465.5)     		tx = 60465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641529083251953 × 217)
    floor (0.641529083251953 × 131072)
    floor (84086.5)     		ty = 84086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60465 / 84086 ti = "17/60465/84086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60465/84086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60465 ÷ 217
    60465 ÷ 131072     		x = 0.461311340332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84086 ÷ 217
    84086 ÷ 131072     		y = 0.641525268554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461311340332031 × 2 - 1) × π
    -0.0773773193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24308802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641525268554688 × 2 - 1) × π
    -0.283050537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.889229487952042
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24308802} λ = -0.24308802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.889229487952042))-π/2
    2×atan(0.410972289889583)-π/2
    2×0.389929315606222-π/2
    0.779858631212445-1.57079632675     		φ = -0.79093770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24308802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.927918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79093770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.317392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60465 KachelY 84086 -0.24308802 -0.79093770 -13.927918 -45.317392
    Oben rechts KachelX + 1 60466 KachelY 84086 -0.24304008 -0.79093770 -13.925171 -45.317392
    Unten links KachelX 60465 KachelY + 1 84087 -0.24308802 -0.79097140 -13.927918 -45.319323
    Unten rechts KachelX + 1 60466 KachelY + 1 84087 -0.24304008 -0.79097140 -13.925171 -45.319323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79093770--0.79097140) × R
    3.37000000000254e-05 × 6371000     		dl = 214.702700000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79093770--0.79097140) × R
    3.37000000000254e-05 × 6371000     		dr = 214.702700000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24308802--0.24304008) × cos(-0.79093770) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.703178908047319 × 6371000     		do = 214.768938342728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24308802--0.24304008) × cos(-0.79097140) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.703154946511417 × 6371000     		du = 214.761619872894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79093770)-sin(-0.79097140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703178908047319-0.703154946511417)×R²
    abs(-0.24304008--0.24308802)×2.39615359016732e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39615359016732e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39615359016732e-05×40589641000000     		ar = 46110.6852952655m²