Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60463 / 85426
↖ ↑ ↗
← S 47.846344°
W 13.933411°		 ← 204.98 m → S 47.846344°
W 13.930664°		 →
↑
204.96 m
↓
↑
204.96 m
↓
S 47.848187°
W 13.933411°		 ← 204.97 m →
42 010 m²		 S 47.848187°
W 13.930664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461299896240234 y=0.651752471923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461299896240234 × 217)
    floor (0.461299896240234 × 131072)
    floor (60463.5)     		tx = 60463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651752471923828 × 217)
    floor (0.651752471923828 × 131072)
    floor (85426.5)     		ty = 85426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60463 / 85426 ti = "17/60463/85426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60463/85426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60463 ÷ 217
    60463 ÷ 131072     		x = 0.461296081542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85426 ÷ 217
    85426 ÷ 131072     		y = 0.651748657226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461296081542969 × 2 - 1) × π
    -0.0774078369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24318389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651748657226562 × 2 - 1) × π
    -0.303497314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.953464933442917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24318389} λ = -0.24318389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.953464933442917))-π/2
    2×atan(0.385403310430238)-π/2
    2×0.367860041537596-π/2
    0.735720083075192-1.57079632675     		φ = -0.83507624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24318389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.933411°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83507624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.846344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60463 KachelY 85426 -0.24318389 -0.83507624 -13.933411 -47.846344
    Oben rechts KachelX + 1 60464 KachelY 85426 -0.24313595 -0.83507624 -13.930664 -47.846344
    Unten links KachelX 60463 KachelY + 1 85427 -0.24318389 -0.83510841 -13.933411 -47.848187
    Unten rechts KachelX + 1 60464 KachelY + 1 85427 -0.24313595 -0.83510841 -13.930664 -47.848187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83507624--0.83510841) × R
    3.2169999999998e-05 × 6371000     		dl = 204.955069999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83507624--0.83510841) × R
    3.2169999999998e-05 × 6371000     		dr = 204.955069999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24318389--0.24313595) × cos(-0.83507624) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.67112116426322 × 6371000     		do = 204.977678224858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24318389--0.24313595) × cos(-0.83510841) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.671097314761079 × 6371000     		du = 204.970393973018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83507624)-sin(-0.83510841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67112116426322-0.671097314761079)×R²
    abs(-0.24313595--0.24318389)×2.38495021411822e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38495021411822e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38495021411822e-05×40589641000000     		ar = 42010.4679203806m²