Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60462 / 82882
↖ ↑ ↗
← S 42.944360°
W 13.936157°		 ← 223.58 m → S 42.944360°
W 13.933411°		 →
↑
223.56 m
↓
↑
223.56 m
↓
S 42.946371°
W 13.936157°		 ← 223.57 m →
49 982 m²		 S 42.946371°
W 13.933411°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461292266845703 y=0.632343292236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461292266845703 × 217)
    floor (0.461292266845703 × 131072)
    floor (60462.5)     		tx = 60462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632343292236328 × 217)
    floor (0.632343292236328 × 131072)
    floor (82882.5)     		ty = 82882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60462 / 82882 ti = "17/60462/82882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60462/82882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60462 ÷ 217
    60462 ÷ 131072     		x = 0.461288452148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82882 ÷ 217
    82882 ÷ 131072     		y = 0.632339477539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461288452148438 × 2 - 1) × π
    -0.077423095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24323183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632339477539062 × 2 - 1) × π
    -0.264678955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.831513460809494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24323183} λ = -0.24323183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.831513460809494))-π/2
    2×atan(0.435389841963151)-π/2
    2×0.410637920924754-π/2
    0.821275841849508-1.57079632675     		φ = -0.74952048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24323183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.936157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74952048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.944360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60462 KachelY 82882 -0.24323183 -0.74952048 -13.936157 -42.944360
    Oben rechts KachelX + 1 60463 KachelY 82882 -0.24318389 -0.74952048 -13.933411 -42.944360
    Unten links KachelX 60462 KachelY + 1 82883 -0.24323183 -0.74955557 -13.936157 -42.946371
    Unten rechts KachelX + 1 60463 KachelY + 1 82883 -0.24318389 -0.74955557 -13.933411 -42.946371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74952048--0.74955557) × R
    3.50899999999044e-05 × 6371000     		dl = 223.558389999391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74952048--0.74955557) × R
    3.50899999999044e-05 × 6371000     		dr = 223.558389999391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24323183--0.24318389) × cos(-0.74952048) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.732015644157442 × 6371000     		do = 223.576419808346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24323183--0.24318389) × cos(-0.74955557) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.731991737317096 × 6371000     		du = 223.569118043943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74952048)-sin(-0.74955557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732015644157442-0.731991737317096)×R²
    abs(-0.24318389--0.24323183)×2.39068403452558e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39068403452558e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39068403452558e-05×40589641000000     		ar = 49981.5682738393m²