Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60462 / 39948
↖ ↑ ↗
← N 57.308724°
W 13.936157°		 ← 164.96 m → N 57.308724°
W 13.933411°		 →
↑
164.95 m
↓
↑
164.95 m
↓
N 57.307240°
W 13.936157°		 ← 164.97 m →
27 211 m²		 N 57.307240°
W 13.933411°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461292266845703 y=0.304782867431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461292266845703 × 217)
    floor (0.461292266845703 × 131072)
    floor (60462.5)     		tx = 60462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304782867431641 × 217)
    floor (0.304782867431641 × 131072)
    floor (39948.5)     		ty = 39948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60462 / 39948 ti = "17/60462/39948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60462/39948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60462 ÷ 217
    60462 ÷ 131072     		x = 0.461288452148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39948 ÷ 217
    39948 ÷ 131072     		y = 0.304779052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461288452148438 × 2 - 1) × π
    -0.077423095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24323183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304779052734375 × 2 - 1) × π
    0.39044189453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.226609387478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24323183} λ = -0.24323183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.226609387478))-π/2
    2×atan(3.40964911603653)-π/2
    2×1.2855111252139-π/2
    2.57102225042779-1.57079632675     		φ = 1.00022592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24323183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.936157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00022592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.308724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60462 KachelY 39948 -0.24323183 1.00022592 -13.936157 57.308724
    Oben rechts KachelX + 1 60463 KachelY 39948 -0.24318389 1.00022592 -13.933411 57.308724
    Unten links KachelX 60462 KachelY + 1 39949 -0.24323183 1.00020003 -13.936157 57.307240
    Unten rechts KachelX + 1 60463 KachelY + 1 39949 -0.24318389 1.00020003 -13.933411 57.307240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00022592-1.00020003) × R
    2.58900000000839e-05 × 6371000     		dl = 164.945190000535m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00022592-1.00020003) × R
    2.58900000000839e-05 × 6371000     		dr = 164.945190000535m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24323183--0.24318389) × cos(1.00022592) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.540112186956396 × 6371000     		do = 164.964164384163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24323183--0.24318389) × cos(1.00020003) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.540133975618883 × 6371000     		du = 164.970819202527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00022592)-sin(1.00020003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540112186956396-0.540133975618883)×R²
    abs(-0.24318389--0.24323183)×2.17886624871433e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.17886624871433e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.17886624871433e-05×40589641000000     		ar = 27210.5942792696m²