Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60461 / 34159
↖ ↑ ↗
← N 64.943324°
W 13.938904°		 ← 129.35 m → N 64.943324°
W 13.936157°		 →
↑
129.40 m
↓
↑
129.40 m
↓
N 64.942160°
W 13.938904°		 ← 129.36 m →
16 738 m²		 N 64.942160°
W 13.936157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461284637451172 y=0.260616302490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461284637451172 × 217)
    floor (0.461284637451172 × 131072)
    floor (60461.5)     		tx = 60461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260616302490234 × 217)
    floor (0.260616302490234 × 131072)
    floor (34159.5)     		ty = 34159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60461 / 34159 ti = "17/60461/34159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60461/34159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60461 ÷ 217
    60461 ÷ 131072     		x = 0.461280822753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34159 ÷ 217
    34159 ÷ 131072     		y = 0.260612487792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461280822753906 × 2 - 1) × π
    -0.0774383544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24327977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260612487792969 × 2 - 1) × π
    0.478775024414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.5041160993785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24327977} λ = -0.24327977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5041160993785))-π/2
    2×atan(4.50017416508032)-π/2
    2×1.35213557662246-π/2
    2.70427115324492-1.57079632675     		φ = 1.13347483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24327977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.938904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13347483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.943324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60461 KachelY 34159 -0.24327977 1.13347483 -13.938904 64.943324
    Oben rechts KachelX + 1 60462 KachelY 34159 -0.24323183 1.13347483 -13.936157 64.943324
    Unten links KachelX 60461 KachelY + 1 34160 -0.24327977 1.13345452 -13.938904 64.942160
    Unten rechts KachelX + 1 60462 KachelY + 1 34160 -0.24323183 1.13345452 -13.936157 64.942160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13347483-1.13345452) × R
    2.03100000000234e-05 × 6371000     		dl = 129.395010000149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13347483-1.13345452) × R
    2.03100000000234e-05 × 6371000     		dr = 129.395010000149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24327977--0.24323183) × cos(1.13347483) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.423514559809197 × 6371000     		do = 129.352247830488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24327977--0.24323183) × cos(1.13345452) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.42353295833346 × 6371000     		du = 129.357867213376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13347483)-sin(1.13345452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423514559809197-0.42353295833346)×R²
    abs(-0.24323183--0.24327977)×1.83985242628859e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83985242628859e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83985242628859e-05×40589641000000     		ar = 16737.8989621541m²