Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60459 / 85432
↖ ↑ ↗
← S 47.857403°
W 13.944397°		 ← 204.93 m → S 47.857403°
W 13.941650°		 →
↑
204.96 m
↓
↑
204.96 m
↓
S 47.859246°
W 13.944397°		 ← 204.93 m →
42 002 m²		 S 47.859246°
W 13.941650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461269378662109 y=0.651798248291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461269378662109 × 217)
    floor (0.461269378662109 × 131072)
    floor (60459.5)     		tx = 60459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651798248291016 × 217)
    floor (0.651798248291016 × 131072)
    floor (85432.5)     		ty = 85432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60459 / 85432 ti = "17/60459/85432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60459/85432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60459 ÷ 217
    60459 ÷ 131072     		x = 0.461265563964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85432 ÷ 217
    85432 ÷ 131072     		y = 0.65179443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461265563964844 × 2 - 1) × π
    -0.0774688720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24337564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65179443359375 × 2 - 1) × π
    -0.3035888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.953752554840637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24337564} λ = -0.24337564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.953752554840637))-π/2
    2×atan(0.385292476131329)-π/2
    2×0.367763537423968-π/2
    0.735527074847936-1.57079632675     		φ = -0.83526925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24337564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.944397°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83526925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.857403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60459 KachelY 85432 -0.24337564 -0.83526925 -13.944397 -47.857403
    Oben rechts KachelX + 1 60460 KachelY 85432 -0.24332770 -0.83526925 -13.941650 -47.857403
    Unten links KachelX 60459 KachelY + 1 85433 -0.24337564 -0.83530142 -13.944397 -47.859246
    Unten rechts KachelX + 1 60460 KachelY + 1 85433 -0.24332770 -0.83530142 -13.941650 -47.859246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83526925--0.83530142) × R
    3.2169999999998e-05 × 6371000     		dl = 204.955069999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83526925--0.83530142) × R
    3.2169999999998e-05 × 6371000     		dr = 204.955069999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24337564--0.24332770) × cos(-0.83526925) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.67097806424777 × 6371000     		do = 204.933971796627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24337564--0.24332770) × cos(-0.83530142) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.670954210579067 × 6371000     		du = 204.926686272212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83526925)-sin(-0.83530142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67097806424777-0.670954210579067)×R²
    abs(-0.24332770--0.24337564)×2.38536687026114e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38536687026114e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38536687026114e-05×40589641000000     		ar = 42001.5099359331m²