Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60459 / 41947
↖ ↑ ↗
← N 54.221891°
W 13.944397°		 ← 178.57 m → N 54.221891°
W 13.941650°		 →
↑
178.58 m
↓
↑
178.58 m
↓
N 54.220285°
W 13.944397°		 ← 178.57 m →
31 889 m²		 N 54.220285°
W 13.941650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461269378662109 y=0.320034027099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461269378662109 × 217)
    floor (0.461269378662109 × 131072)
    floor (60459.5)     		tx = 60459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320034027099609 × 217)
    floor (0.320034027099609 × 131072)
    floor (41947.5)     		ty = 41947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60459 / 41947 ti = "17/60459/41947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60459/41947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60459 ÷ 217
    60459 ÷ 131072     		x = 0.461265563964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41947 ÷ 217
    41947 ÷ 131072     		y = 0.320030212402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461265563964844 × 2 - 1) × π
    -0.0774688720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24337564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320030212402344 × 2 - 1) × π
    0.359939575195312 × 3.1415926535     		Φ = 1.1307835251375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24337564} λ = -0.24337564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1307835251375))-π/2
    2×atan(3.09808297528765)-π/2
    2×1.25857342304201-π/2
    2.51714684608402-1.57079632675     		φ = 0.94635052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24337564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.944397°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94635052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.221891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60459 KachelY 41947 -0.24337564 0.94635052 -13.944397 54.221891
    Oben rechts KachelX + 1 60460 KachelY 41947 -0.24332770 0.94635052 -13.941650 54.221891
    Unten links KachelX 60459 KachelY + 1 41948 -0.24337564 0.94632249 -13.944397 54.220285
    Unten rechts KachelX + 1 60460 KachelY + 1 41948 -0.24332770 0.94632249 -13.941650 54.220285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94635052-0.94632249) × R
    2.80299999999567e-05 × 6371000     		dl = 178.579129999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94635052-0.94632249) × R
    2.80299999999567e-05 × 6371000     		dr = 178.579129999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24337564--0.24332770) × cos(0.94635052) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.584647752862556 × 6371000     		do = 178.56647255737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24337564--0.24332770) × cos(0.94632249) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.58467049301455 × 6371000     		du = 178.57341798512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94635052)-sin(0.94632249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584647752862556-0.58467049301455)×R²
    abs(-0.24332770--0.24337564)×2.27401519941051e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.27401519941051e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.27401519941051e-05×40589641000000     		ar = 31888.8654728549m²