Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60456 / 60024
↖ ↑ ↗
← S 81.614946°
E152.094726°		 ← 89.08 m → S 81.614946°
E152.100220°		 →
↑
89.07 m
↓
↑
89.07 m
↓
S 81.615747°
E152.094726°		 ← 89.07 m →
7 933 m²		 S 81.615747°
E152.100220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922492980957031 y=0.915901184082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922492980957031 × 216)
    floor (0.922492980957031 × 65536)
    floor (60456.5)     		tx = 60456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915901184082031 × 216)
    floor (0.915901184082031 × 65536)
    floor (60024.5)     		ty = 60024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60456 / 60024 ti = "16/60456/60024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60456/60024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60456 ÷ 216
    60456 ÷ 65536     		x = 0.9224853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60024 ÷ 216
    60024 ÷ 65536     		y = 0.9158935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9224853515625 × 2 - 1) × π
    0.844970703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.65455375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9158935546875 × 2 - 1) × π
    -0.831787109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.6131362720885
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65455375} λ = 2.65455375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6131362720885))-π/2
    2×atan(0.0733042806984664)-π/2
    2×0.073173401794693-π/2
    0.146346803589386-1.57079632675     		φ = -1.42444952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65455375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.094726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42444952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.614946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60456 KachelY 60024 2.65455375 -1.42444952 152.094726 -81.614946
    Oben rechts KachelX + 1 60457 KachelY 60024 2.65464963 -1.42444952 152.100220 -81.614946
    Unten links KachelX 60456 KachelY + 1 60025 2.65455375 -1.42446350 152.094726 -81.615747
    Unten rechts KachelX + 1 60457 KachelY + 1 60025 2.65464963 -1.42446350 152.100220 -81.615747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42444952--1.42446350) × R
    1.398000000008e-05 × 6371000     		dl = 89.0665800005099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42444952--1.42446350) × R
    1.398000000008e-05 × 6371000     		dr = 89.0665800005099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65455375-2.65464963) × cos(-1.42444952) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.145824971538697 × 6371000     		do = 89.0773996857253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65455375-2.65464963) × cos(-1.42446350) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.145811140964984 × 6371000     		du = 89.0689512593033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42444952)-sin(-1.42446350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145824971538697-0.145811140964984)×R²
    abs(2.65464963-2.65455375)×1.3830573713236e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.3830573713236e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.3830573713236e-05×40589641000000     		ar = 7933.44310923269m²