Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60456 / 41968
↖ ↑ ↗
← N 54.188156°
W 13.952637°		 ← 178.71 m → N 54.188156°
W 13.949890°		 →
↑
178.71 m
↓
↑
178.71 m
↓
N 54.186548°
W 13.952637°		 ← 178.72 m →
31 938 m²		 N 54.186548°
W 13.949890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461246490478516 y=0.320194244384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461246490478516 × 217)
    floor (0.461246490478516 × 131072)
    floor (60456.5)     		tx = 60456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320194244384766 × 217)
    floor (0.320194244384766 × 131072)
    floor (41968.5)     		ty = 41968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60456 / 41968 ti = "17/60456/41968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60456/41968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60456 ÷ 217
    60456 ÷ 131072     		x = 0.46124267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41968 ÷ 217
    41968 ÷ 131072     		y = 0.3201904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46124267578125 × 2 - 1) × π
    -0.0775146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24351945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3201904296875 × 2 - 1) × π
    0.359619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.12977685024548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24351945} λ = -0.24351945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12977685024548))-π/2
    2×atan(3.09496578220627)-π/2
    2×1.25827902775166-π/2
    2.51655805550331-1.57079632675     		φ = 0.94576173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24351945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.952637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94576173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.188156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60456 KachelY 41968 -0.24351945 0.94576173 -13.952637 54.188156
    Oben rechts KachelX + 1 60457 KachelY 41968 -0.24347151 0.94576173 -13.949890 54.188156
    Unten links KachelX 60456 KachelY + 1 41969 -0.24351945 0.94573368 -13.952637 54.186548
    Unten rechts KachelX + 1 60457 KachelY + 1 41969 -0.24347151 0.94573368 -13.949890 54.186548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94576173-0.94573368) × R
    2.80499999999462e-05 × 6371000     		dl = 178.706549999657m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94576173-0.94573368) × R
    2.80499999999462e-05 × 6371000     		dr = 178.706549999657m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24351945--0.24347151) × cos(0.94576173) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.585125329315008 × 6371000     		do = 178.712336698766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24351945--0.24347151) × cos(0.94573368) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.585148076032503 × 6371000     		du = 178.71928413179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94576173)-sin(0.94573368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585125329315008-0.585148076032503)×R²
    abs(-0.24347151--0.24351945)×2.27467174945817e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.27467174945817e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.27467174945817e-05×40589641000000     		ar = 31937.6859116128m²