Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60455 / 82872
↖ ↑ ↗
← S 42.924252°
W 13.955383°		 ← 223.65 m → S 42.924252°
W 13.952637°		 →
↑
223.62 m
↓
↑
223.62 m
↓
S 42.926263°
W 13.955383°		 ← 223.64 m →
50 012 m²		 S 42.926263°
W 13.952637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461238861083984 y=0.632266998291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461238861083984 × 217)
    floor (0.461238861083984 × 131072)
    floor (60455.5)     		tx = 60455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632266998291016 × 217)
    floor (0.632266998291016 × 131072)
    floor (82872.5)     		ty = 82872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60455 / 82872 ti = "17/60455/82872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60455/82872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60455 ÷ 217
    60455 ÷ 131072     		x = 0.461235046386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82872 ÷ 217
    82872 ÷ 131072     		y = 0.63226318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461235046386719 × 2 - 1) × π
    -0.0775299072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24356739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63226318359375 × 2 - 1) × π
    -0.2645263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.831034091813293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24356739} λ = -0.24356739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.831034091813293))-π/2
    2×atan(0.435598604387768)-π/2
    2×0.410813402376148-π/2
    0.821626804752296-1.57079632675     		φ = -0.74916952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24356739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.955383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74916952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.924252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60455 KachelY 82872 -0.24356739 -0.74916952 -13.955383 -42.924252
    Oben rechts KachelX + 1 60456 KachelY 82872 -0.24351945 -0.74916952 -13.952637 -42.924252
    Unten links KachelX 60455 KachelY + 1 82873 -0.24356739 -0.74920462 -13.955383 -42.926263
    Unten rechts KachelX + 1 60456 KachelY + 1 82873 -0.24351945 -0.74920462 -13.952637 -42.926263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74916952--0.74920462) × R
    3.50999999999546e-05 × 6371000     		dl = 223.622099999711m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74916952--0.74920462) × R
    3.50999999999546e-05 × 6371000     		dr = 223.622099999711m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24356739--0.24351945) × cos(-0.74916952) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.732254703844368 × 6371000     		do = 223.64943479013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24356739--0.24351945) × cos(-0.74920462) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.732230799209691 × 6371000     		du = 223.642133699394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74916952)-sin(-0.74920462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732254703844368-0.732230799209691)×R²
    abs(-0.24351945--0.24356739)×2.39046346769411e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39046346769411e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39046346769411e-05×40589641000000     		ar = 50012.1399339044m²