Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60455 / 60047
↖ ↑ ↗
← S 81.633350°
E152.089233°		 ← 88.87 m → S 81.633350°
E152.094726°		 →
↑
88.88 m
↓
↑
88.88 m
↓
S 81.634149°
E152.089233°		 ← 88.87 m →
7 898 m²		 S 81.634149°
E152.094726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922477722167969 y=0.916252136230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922477722167969 × 216)
    floor (0.922477722167969 × 65536)
    floor (60455.5)     		tx = 60455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916252136230469 × 216)
    floor (0.916252136230469 × 65536)
    floor (60047.5)     		ty = 60047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60455 / 60047 ti = "16/60455/60047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60455/60047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60455 ÷ 216
    60455 ÷ 65536     		x = 0.922470092773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60047 ÷ 216
    60047 ÷ 65536     		y = 0.916244506835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922470092773438 × 2 - 1) × π
    0.844940185546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.65445788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916244506835938 × 2 - 1) × π
    -0.832489013671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.61534136947102
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65445788} λ = 2.65445788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61534136947102))-π/2
    2×atan(0.0731428157094093)-π/2
    2×0.0730127979138797-π/2
    0.146025595827759-1.57079632675     		φ = -1.42477073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65445788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.089233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42477073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.633350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60455 KachelY 60047 2.65445788 -1.42477073 152.089233 -81.633350
    Oben rechts KachelX + 1 60456 KachelY 60047 2.65455375 -1.42477073 152.094726 -81.633350
    Unten links KachelX 60455 KachelY + 1 60048 2.65445788 -1.42478468 152.089233 -81.634149
    Unten rechts KachelX + 1 60456 KachelY + 1 60048 2.65455375 -1.42478468 152.094726 -81.634149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42477073--1.42478468) × R
    1.39499999998183e-05 × 6371000     		dl = 88.8754499988422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42477073--1.42478468) × R
    1.39499999998183e-05 × 6371000     		dr = 88.8754499988422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65445788-2.65455375) × cos(-1.42477073) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.145507187626125 × 6371000     		do = 88.8740106491305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65445788-2.65455375) × cos(-1.42478468) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.145493386079104 × 6371000     		du = 88.865580833003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42477073)-sin(-1.42478468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145507187626125-0.145493386079104)×R²
    abs(2.65455375-2.65445788)×1.3801547020964e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.3801547020964e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.3801547020964e-05×40589641000000     		ar = 7898.34308811857m²