Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60455 / 60023
↖ ↑ ↗
← S 81.614145°
E152.089233°		 ← 89.08 m → S 81.614145°
E152.094726°		 →
↑
89.07 m
↓
↑
89.07 m
↓
S 81.614946°
E152.089233°		 ← 89.07 m →
7 933 m²		 S 81.614946°
E152.094726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922477722167969 y=0.915885925292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922477722167969 × 216)
    floor (0.922477722167969 × 65536)
    floor (60455.5)     		tx = 60455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915885925292969 × 216)
    floor (0.915885925292969 × 65536)
    floor (60023.5)     		ty = 60023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60455 / 60023 ti = "16/60455/60023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60455/60023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60455 ÷ 216
    60455 ÷ 65536     		x = 0.922470092773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60023 ÷ 216
    60023 ÷ 65536     		y = 0.915878295898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922470092773438 × 2 - 1) × π
    0.844940185546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.65445788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915878295898438 × 2 - 1) × π
    -0.831756591796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.61304039828926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65445788} λ = 2.65445788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61304039828926))-π/2
    2×atan(0.0733113089952669)-π/2
    2×0.0731803925230899-π/2
    0.14636078504618-1.57079632675     		φ = -1.42443554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65445788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.089233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42443554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.614145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60455 KachelY 60023 2.65445788 -1.42443554 152.089233 -81.614145
    Oben rechts KachelX + 1 60456 KachelY 60023 2.65455375 -1.42443554 152.094726 -81.614145
    Unten links KachelX 60455 KachelY + 1 60024 2.65445788 -1.42444952 152.089233 -81.614946
    Unten rechts KachelX + 1 60456 KachelY + 1 60024 2.65455375 -1.42444952 152.094726 -81.614946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42443554--1.42444952) × R
    1.398000000008e-05 × 6371000     		dl = 89.0665800005099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42443554--1.42444952) × R
    1.398000000008e-05 × 6371000     		dr = 89.0665800005099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65445788-2.65455375) × cos(-1.42443554) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.14583880208391 × 6371000     		do = 89.0765567043011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65445788-2.65455375) × cos(-1.42444952) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.145824971538697 × 6371000     		du = 89.0681091764325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42443554)-sin(-1.42444952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14583880208391-0.145824971538697)×R²
    abs(2.65455375-2.65445788)×1.38305452131449e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.38305452131449e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.38305452131449e-05×40589641000000     		ar = 7933.36806778597m²