Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60455 / 39916
↖ ↑ ↗
← N 57.356164°
W 13.955383°		 ← 164.75 m → N 57.356164°
W 13.952637°		 →
↑
164.75 m
↓
↑
164.75 m
↓
N 57.354682°
W 13.955383°		 ← 164.76 m →
27 144 m²		 N 57.354682°
W 13.952637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461238861083984 y=0.304538726806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461238861083984 × 217)
    floor (0.461238861083984 × 131072)
    floor (60455.5)     		tx = 60455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304538726806641 × 217)
    floor (0.304538726806641 × 131072)
    floor (39916.5)     		ty = 39916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60455 / 39916 ti = "17/60455/39916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60455/39916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60455 ÷ 217
    60455 ÷ 131072     		x = 0.461235046386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39916 ÷ 217
    39916 ÷ 131072     		y = 0.304534912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461235046386719 × 2 - 1) × π
    -0.0775299072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24356739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304534912109375 × 2 - 1) × π
    0.39093017578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.22814336826584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24356739} λ = -0.24356739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22814336826584))-π/2
    2×atan(3.4148834659435)-π/2
    2×1.2859251187355-π/2
    2.571850237471-1.57079632675     		φ = 1.00105391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24356739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.955383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00105391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.356164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60455 KachelY 39916 -0.24356739 1.00105391 -13.955383 57.356164
    Oben rechts KachelX + 1 60456 KachelY 39916 -0.24351945 1.00105391 -13.952637 57.356164
    Unten links KachelX 60455 KachelY + 1 39917 -0.24356739 1.00102805 -13.955383 57.354682
    Unten rechts KachelX + 1 60456 KachelY + 1 39917 -0.24351945 1.00102805 -13.952637 57.354682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00105391-1.00102805) × R
    2.58600000000442e-05 × 6371000     		dl = 164.754060000281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00105391-1.00102805) × R
    2.58600000000442e-05 × 6371000     		dr = 164.754060000281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24356739--0.24351945) × cos(1.00105391) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.539415171282753 × 6371000     		do = 164.751277856249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24356739--0.24351945) × cos(1.00102805) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.539436946255426 × 6371000     		du = 164.757928493391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00105391)-sin(1.00102805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539415171282753-0.539436946255426)×R²
    abs(-0.24351945--0.24356739)×2.17749726727501e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.17749726727501e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.17749726727501e-05×40589641000000     		ar = 27143.9897783351m²