Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60454 / 83292
↖ ↑ ↗
← S 43.763160°
W 13.958130°		 ← 220.53 m → S 43.763160°
W 13.955383°		 →
↑
220.56 m
↓
↑
220.56 m
↓
S 43.765143°
W 13.958130°		 ← 220.53 m →
48 641 m²		 S 43.765143°
W 13.955383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461231231689453 y=0.635471343994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461231231689453 × 217)
    floor (0.461231231689453 × 131072)
    floor (60454.5)     		tx = 60454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635471343994141 × 217)
    floor (0.635471343994141 × 131072)
    floor (83292.5)     		ty = 83292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60454 / 83292 ti = "17/60454/83292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60454/83292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60454 ÷ 217
    60454 ÷ 131072     		x = 0.461227416992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83292 ÷ 217
    83292 ÷ 131072     		y = 0.635467529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461227416992188 × 2 - 1) × π
    -0.077545166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24361532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635467529296875 × 2 - 1) × π
    -0.27093505859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.851167589653717
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24361532} λ = -0.24361532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.851167589653717))-π/2
    2×atan(0.42691617792302)-π/2
    2×0.403492547203034-π/2
    0.806985094406069-1.57079632675     		φ = -0.76381123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24361532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.958130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76381123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.763160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60454 KachelY 83292 -0.24361532 -0.76381123 -13.958130 -43.763160
    Oben rechts KachelX + 1 60455 KachelY 83292 -0.24356739 -0.76381123 -13.955383 -43.763160
    Unten links KachelX 60454 KachelY + 1 83293 -0.24361532 -0.76384585 -13.958130 -43.765143
    Unten rechts KachelX + 1 60455 KachelY + 1 83293 -0.24356739 -0.76384585 -13.955383 -43.765143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76381123--0.76384585) × R
    3.46200000000962e-05 × 6371000     		dl = 220.564020000613m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76381123--0.76384585) × R
    3.46200000000962e-05 × 6371000     		dr = 220.564020000613m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24361532--0.24356739) × cos(-0.76381123) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.722205114731109 × 6371000     		do = 220.534019910682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24361532--0.24356739) × cos(-0.76384585) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.722181168373007 × 6371000     		du = 220.526707602161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76381123)-sin(-0.76384585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722205114731109-0.722181168373007)×R²
    abs(-0.24356739--0.24361532)×2.39463581014343e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39463581014343e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39463581014343e-05×40589641000000     		ar = 48641.0635671858m²