Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60454 / 39918
↖ ↑ ↗
← N 57.353201°
W 13.958130°		 ← 164.73 m → N 57.353201°
W 13.955383°		 →
↑
164.75 m
↓
↑
164.75 m
↓
N 57.351719°
W 13.958130°		 ← 164.74 m →
27 141 m²		 N 57.351719°
W 13.955383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461231231689453 y=0.304553985595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461231231689453 × 217)
    floor (0.461231231689453 × 131072)
    floor (60454.5)     		tx = 60454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304553985595703 × 217)
    floor (0.304553985595703 × 131072)
    floor (39918.5)     		ty = 39918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60454 / 39918 ti = "17/60454/39918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60454/39918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60454 ÷ 217
    60454 ÷ 131072     		x = 0.461227416992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39918 ÷ 217
    39918 ÷ 131072     		y = 0.304550170898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461227416992188 × 2 - 1) × π
    -0.077545166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24361532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304550170898438 × 2 - 1) × π
    0.390899658203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.2280474944666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24361532} λ = -0.24361532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2280474944666))-π/2
    2×atan(3.41455608378559)-π/2
    2×1.28589925980084-π/2
    2.57179851960169-1.57079632675     		φ = 1.00100219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24361532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.958130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00100219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.353201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60454 KachelY 39918 -0.24361532 1.00100219 -13.958130 57.353201
    Oben rechts KachelX + 1 60455 KachelY 39918 -0.24356739 1.00100219 -13.955383 57.353201
    Unten links KachelX 60454 KachelY + 1 39919 -0.24361532 1.00097633 -13.958130 57.351719
    Unten rechts KachelX + 1 60455 KachelY + 1 39919 -0.24356739 1.00097633 -13.955383 57.351719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00100219-1.00097633) × R
    2.58599999998221e-05 × 6371000     		dl = 164.754059998867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00100219-1.00097633) × R
    2.58599999998221e-05 × 6371000     		dr = 164.754059998867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24361532--0.24356739) × cos(1.00100219) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.539458720867356 × 6371000     		do = 164.730210105265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24361532--0.24356739) × cos(1.00097633) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.539480495118528 × 6371000     		du = 164.736859134804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00100219)-sin(1.00097633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539458720867356-0.539480495118528)×R²
    abs(-0.24356739--0.24361532)×2.17742511723351e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.17742511723351e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.17742511723351e-05×40589641000000     		ar = 27140.5186481715m²