Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60453 / 83482
↖ ↑ ↗
← S 44.138856°
W 13.960876°		 ← 219.19 m → S 44.138856°
W 13.958130°		 →
↑
219.16 m
↓
↑
219.16 m
↓
S 44.140827°
W 13.960876°		 ← 219.18 m →
48 037 m²		 S 44.140827°
W 13.958130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461223602294922 y=0.636920928955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461223602294922 × 217)
    floor (0.461223602294922 × 131072)
    floor (60453.5)     		tx = 60453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636920928955078 × 217)
    floor (0.636920928955078 × 131072)
    floor (83482.5)     		ty = 83482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60453 / 83482 ti = "17/60453/83482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60453/83482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60453 ÷ 217
    60453 ÷ 131072     		x = 0.461219787597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83482 ÷ 217
    83482 ÷ 131072     		y = 0.636917114257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461219787597656 × 2 - 1) × π
    -0.0775604248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24366326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636917114257812 × 2 - 1) × π
    -0.273834228515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.860275600581528
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24366326} λ = -0.24366326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.860275600581528))-π/2
    2×atan(0.423045474671087)-π/2
    2×0.400213982802789-π/2
    0.800427965605578-1.57079632675     		φ = -0.77036836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24366326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.960876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77036836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.138856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60453 KachelY 83482 -0.24366326 -0.77036836 -13.960876 -44.138856
    Oben rechts KachelX + 1 60454 KachelY 83482 -0.24361532 -0.77036836 -13.958130 -44.138856
    Unten links KachelX 60453 KachelY + 1 83483 -0.24366326 -0.77040276 -13.960876 -44.140827
    Unten rechts KachelX + 1 60454 KachelY + 1 83483 -0.24361532 -0.77040276 -13.958130 -44.140827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77036836--0.77040276) × R
    3.439999999999e-05 × 6371000     		dl = 219.162399999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77036836--0.77040276) × R
    3.439999999999e-05 × 6371000     		dr = 219.162399999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24366326--0.24361532) × cos(-0.77036836) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.71765419253392 × 6371000     		do = 219.190062818758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24366326--0.24361532) × cos(-0.77040276) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.717630235961654 × 6371000     		du = 219.182745864946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77036836)-sin(-0.77040276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71765419253392-0.717630235961654)×R²
    abs(-0.24361532--0.24366326)×2.39565722661705e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39565722661705e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39565722661705e-05×40589641000000     		ar = 48037.4184275515m²