Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60453 / 83291
↖ ↑ ↗
← S 43.761176°
W 13.960876°		 ← 220.59 m → S 43.761176°
W 13.958130°		 →
↑
220.56 m
↓
↑
220.56 m
↓
S 43.763160°
W 13.960876°		 ← 220.58 m →
48 653 m²		 S 43.763160°
W 13.958130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461223602294922 y=0.635463714599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461223602294922 × 217)
    floor (0.461223602294922 × 131072)
    floor (60453.5)     		tx = 60453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635463714599609 × 217)
    floor (0.635463714599609 × 131072)
    floor (83291.5)     		ty = 83291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60453 / 83291 ti = "17/60453/83291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60453/83291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60453 ÷ 217
    60453 ÷ 131072     		x = 0.461219787597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83291 ÷ 217
    83291 ÷ 131072     		y = 0.635459899902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461219787597656 × 2 - 1) × π
    -0.0775604248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24366326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635459899902344 × 2 - 1) × π
    -0.270919799804688 × 3.1415926535     		Φ = -0.851119652754097
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24366326} λ = -0.24366326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.851119652754097))-π/2
    2×atan(0.426936643451511)-π/2
    2×0.403509857627015-π/2
    0.80701971525403-1.57079632675     		φ = -0.76377661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24366326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.960876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76377661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.761176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60453 KachelY 83291 -0.24366326 -0.76377661 -13.960876 -43.761176
    Oben rechts KachelX + 1 60454 KachelY 83291 -0.24361532 -0.76377661 -13.958130 -43.761176
    Unten links KachelX 60453 KachelY + 1 83292 -0.24366326 -0.76381123 -13.960876 -43.763160
    Unten rechts KachelX + 1 60454 KachelY + 1 83292 -0.24361532 -0.76381123 -13.958130 -43.763160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76377661--0.76381123) × R
    3.46199999999852e-05 × 6371000     		dl = 220.564019999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76377661--0.76381123) × R
    3.46199999999852e-05 × 6371000     		dr = 220.564019999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24366326--0.24361532) × cos(-0.76377661) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.722229060223615 × 6371000     		do = 220.587345168285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24366326--0.24361532) × cos(-0.76381123) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.722205114731109 × 6371000     		du = 220.580031598517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76377661)-sin(-0.76381123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722229060223615-0.722205114731109)×R²
    abs(-0.24361532--0.24366326)×2.39454925063942e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39454925063942e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39454925063942e-05×40589641000000     		ar = 48652.8250609231m²