Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60453 / 82867
↖ ↑ ↗
← S 42.914195°
W 13.960876°		 ← 223.69 m → S 42.914195°
W 13.958130°		 →
↑
223.62 m
↓
↑
223.62 m
↓
S 42.916206°
W 13.960876°		 ← 223.68 m →
50 020 m²		 S 42.916206°
W 13.958130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461223602294922 y=0.632228851318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461223602294922 × 217)
    floor (0.461223602294922 × 131072)
    floor (60453.5)     		tx = 60453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632228851318359 × 217)
    floor (0.632228851318359 × 131072)
    floor (82867.5)     		ty = 82867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60453 / 82867 ti = "17/60453/82867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60453/82867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60453 ÷ 217
    60453 ÷ 131072     		x = 0.461219787597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82867 ÷ 217
    82867 ÷ 131072     		y = 0.632225036621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461219787597656 × 2 - 1) × π
    -0.0775604248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24366326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632225036621094 × 2 - 1) × π
    -0.264450073242188 × 3.1415926535     		Φ = -0.830794407315193
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24366326} λ = -0.24366326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.830794407315193))-π/2
    2×atan(0.435703023133912)-π/2
    2×0.410901164588746-π/2
    0.821802329177493-1.57079632675     		φ = -0.74899400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24366326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.960876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74899400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.914195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60453 KachelY 82867 -0.24366326 -0.74899400 -13.960876 -42.914195
    Oben rechts KachelX + 1 60454 KachelY 82867 -0.24361532 -0.74899400 -13.958130 -42.914195
    Unten links KachelX 60453 KachelY + 1 82868 -0.24366326 -0.74902910 -13.960876 -42.916206
    Unten rechts KachelX + 1 60454 KachelY + 1 82868 -0.24361532 -0.74902910 -13.958130 -42.916206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74899400--0.74902910) × R
    3.50999999999546e-05 × 6371000     		dl = 223.622099999711m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74899400--0.74902910) × R
    3.50999999999546e-05 × 6371000     		dr = 223.622099999711m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24366326--0.24361532) × cos(-0.74899400) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.732374227103034 × 6371000     		do = 223.685940269855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24366326--0.24361532) × cos(-0.74902910) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.732350326979891 × 6371000     		du = 223.678640557058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74899400)-sin(-0.74902910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732374227103034-0.732350326979891)×R²
    abs(-0.24361532--0.24366326)×2.39001231426839e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39001231426839e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39001231426839e-05×40589641000000     		ar = 50020.3035201467m²