Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60452 / 83308
↖ ↑ ↗
← S 43.794889°
W 13.963623°		 ← 220.46 m → S 43.794889°
W 13.960876°		 →
↑
220.44 m
↓
↑
220.44 m
↓
S 43.796872°
W 13.963623°		 ← 220.46 m →
48 597 m²		 S 43.796872°
W 13.960876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461215972900391 y=0.635593414306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461215972900391 × 217)
    floor (0.461215972900391 × 131072)
    floor (60452.5)     		tx = 60452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635593414306641 × 217)
    floor (0.635593414306641 × 131072)
    floor (83308.5)     		ty = 83308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60452 / 83308 ti = "17/60452/83308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60452/83308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60452 ÷ 217
    60452 ÷ 131072     		x = 0.461212158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83308 ÷ 217
    83308 ÷ 131072     		y = 0.635589599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461212158203125 × 2 - 1) × π
    -0.07757568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24371120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635589599609375 × 2 - 1) × π
    -0.27117919921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.851934580047638
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24371120} λ = -0.24371120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.851934580047638))-π/2
    2×atan(0.426588862855346)-π/2
    2×0.403215658477873-π/2
    0.806431316955746-1.57079632675     		φ = -0.76436501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24371120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.963623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76436501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.794889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60452 KachelY 83308 -0.24371120 -0.76436501 -13.963623 -43.794889
    Oben rechts KachelX + 1 60453 KachelY 83308 -0.24366326 -0.76436501 -13.960876 -43.794889
    Unten links KachelX 60452 KachelY + 1 83309 -0.24371120 -0.76439961 -13.963623 -43.796872
    Unten rechts KachelX + 1 60453 KachelY + 1 83309 -0.24366326 -0.76439961 -13.960876 -43.796872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76436501--0.76439961) × R
    3.45999999999957e-05 × 6371000     		dl = 220.436599999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76436501--0.76439961) × R
    3.45999999999957e-05 × 6371000     		dr = 220.436599999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24371120--0.24366326) × cos(-0.76436501) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.721821966040657 × 6371000     		do = 220.463008126206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24371120--0.24366326) × cos(-0.76439961) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.721798019682515 × 6371000     		du = 220.45569429205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76436501)-sin(-0.76439961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721821966040657-0.721798019682515)×R²
    abs(-0.24366326--0.24371120)×2.39463581417354e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39463581417354e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39463581417354e-05×40589641000000     		ar = 48597.3098237246m²