Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 60451 / 60073
↖ ↑ ↗
← S 81.654106°
E152.067260°		 ← 88.66 m → S 81.654106°
E152.072754°		 →
↑
88.68 m
↓
↑
88.68 m
↓
S 81.654903°
E152.067260°		 ← 88.66 m →
7 863 m²		 S 81.654903°
E152.072754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922416687011719 y=0.916648864746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922416687011719 × 216)
    floor (0.922416687011719 × 65536)
    floor (60451.5)     		tx = 60451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916648864746094 × 216)
    floor (0.916648864746094 × 65536)
    floor (60073.5)     		ty = 60073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60451 / 60073 ti = "16/60451/60073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60451/60073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60451 ÷ 216
    60451 ÷ 65536     		x = 0.922409057617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60073 ÷ 216
    60073 ÷ 65536     		y = 0.916641235351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922409057617188 × 2 - 1) × π
    0.844818115234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.65407438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916641235351562 × 2 - 1) × π
    -0.833282470703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.61783408825127
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65407438} λ = 2.65407438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61783408825127))-π/2
    2×atan(0.0729607182921672)-π/2
    2×0.0728316671126361-π/2
    0.145663334225272-1.57079632675     		φ = -1.42513299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65407438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.067260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42513299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.654106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60451 KachelY 60073 2.65407438 -1.42513299 152.067260 -81.654106
    Oben rechts KachelX + 1 60452 KachelY 60073 2.65417026 -1.42513299 152.072754 -81.654106
    Unten links KachelX 60451 KachelY + 1 60074 2.65407438 -1.42514691 152.067260 -81.654903
    Unten rechts KachelX + 1 60452 KachelY + 1 60074 2.65417026 -1.42514691 152.072754 -81.654903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42513299--1.42514691) × R
    1.39200000000006e-05 × 6371000     		dl = 88.6843200000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42513299--1.42514691) × R
    1.39200000000006e-05 × 6371000     		dr = 88.6843200000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65407438-2.65417026) × cos(-1.42513299) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.145148773549055 × 6371000     		do = 88.6643431425671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65407438-2.65417026) × cos(-1.42514691) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.145135000950006 × 6371000     		du = 88.6559301300544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42513299)-sin(-1.42514691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145148773549055-0.145135000950006)×R²
    abs(2.65417026-2.65407438)×1.37725990492499e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.37725990492499e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.37725990492499e-05×40589641000000     		ar = 7862.76392894624m²