Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60450 / 60050
↖ ↑ ↗
← S 81.635747°
E152.061768°		 ← 88.85 m → S 81.635747°
E152.067260°		 →
↑
88.81 m
↓
↑
88.81 m
↓
S 81.636546°
E152.061768°		 ← 88.84 m →
7 890 m²		 S 81.636546°
E152.067260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922401428222656 y=0.916297912597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922401428222656 × 216)
    floor (0.922401428222656 × 65536)
    floor (60450.5)     		tx = 60450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916297912597656 × 216)
    floor (0.916297912597656 × 65536)
    floor (60050.5)     		ty = 60050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60450 / 60050 ti = "16/60450/60050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60450/60050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60450 ÷ 216
    60450 ÷ 65536     		x = 0.922393798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60050 ÷ 216
    60050 ÷ 65536     		y = 0.916290283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922393798828125 × 2 - 1) × π
    0.84478759765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.65397851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916290283203125 × 2 - 1) × π
    -0.83258056640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.61562899086874
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65397851} λ = 2.65397851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61562899086874))-π/2
    2×atan(0.0731217812956404)-π/2
    2×0.0729918754006812-π/2
    0.145983750801362-1.57079632675     		φ = -1.42481258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65397851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.061768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42481258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.635747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60450 KachelY 60050 2.65397851 -1.42481258 152.061768 -81.635747
    Oben rechts KachelX + 1 60451 KachelY 60050 2.65407438 -1.42481258 152.067260 -81.635747
    Unten links KachelX 60450 KachelY + 1 60051 2.65397851 -1.42482652 152.061768 -81.636546
    Unten rechts KachelX + 1 60451 KachelY + 1 60051 2.65407438 -1.42482652 152.067260 -81.636546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42481258--1.42482652) × R
    1.39400000001011e-05 × 6371000     		dl = 88.8117400006441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42481258--1.42482652) × R
    1.39400000001011e-05 × 6371000     		dr = 88.8117400006441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65397851-2.65407438) × cos(-1.42481258) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.145465782900124 × 6371000     		do = 88.848721148869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65397851-2.65407438) × cos(-1.42482652) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.145451991161824 × 6371000     		du = 88.8402973237882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42481258)-sin(-1.42482652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145465782900124-0.145451991161824)×R²
    abs(2.65407438-2.65397851)×1.3791738300184e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.3791738300184e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.3791738300184e-05×40589641000000     		ar = 7890.43545501812m²