Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60449 / 83494
↖ ↑ ↗
← S 44.162504°
W 13.971863°		 ← 219.10 m → S 44.162504°
W 13.969116°		 →
↑
219.10 m
↓
↑
219.10 m
↓
S 44.164474°
W 13.971863°		 ← 219.09 m →
48 004 m²		 S 44.164474°
W 13.969116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461193084716797 y=0.637012481689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461193084716797 × 217)
    floor (0.461193084716797 × 131072)
    floor (60449.5)     		tx = 60449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637012481689453 × 217)
    floor (0.637012481689453 × 131072)
    floor (83494.5)     		ty = 83494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60449 / 83494 ti = "17/60449/83494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60449/83494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60449 ÷ 217
    60449 ÷ 131072     		x = 0.461189270019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83494 ÷ 217
    83494 ÷ 131072     		y = 0.637008666992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461189270019531 × 2 - 1) × π
    -0.0776214599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24385501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637008666992188 × 2 - 1) × π
    -0.274017333984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.860850843376968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24385501} λ = -0.24385501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.860850843376968))-π/2
    2×atan(0.422802190789998)-π/2
    2×0.400007611445779-π/2
    0.800015222891558-1.57079632675     		φ = -0.77078110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24385501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.971863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77078110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.162504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60449 KachelY 83494 -0.24385501 -0.77078110 -13.971863 -44.162504
    Oben rechts KachelX + 1 60450 KachelY 83494 -0.24380707 -0.77078110 -13.969116 -44.162504
    Unten links KachelX 60449 KachelY + 1 83495 -0.24385501 -0.77081549 -13.971863 -44.164474
    Unten rechts KachelX + 1 60450 KachelY + 1 83495 -0.24380707 -0.77081549 -13.969116 -44.164474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77078110--0.77081549) × R
    3.43900000000508e-05 × 6371000     		dl = 219.098690000323m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77078110--0.77081549) × R
    3.43900000000508e-05 × 6371000     		dr = 219.098690000323m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24385501--0.24380707) × cos(-0.77078110) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.717366699426527 × 6371000     		do = 219.102255023815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24385501--0.24380707) × cos(-0.77081549) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.717342739634239 × 6371000     		du = 219.094937086525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77078110)-sin(-0.77081549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717366699426527-0.717342739634239)×R²
    abs(-0.24380707--0.24385501)×2.39597922886414e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39597922886414e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39597922886414e-05×40589641000000     		ar = 48004.2153813163m²