Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60449 / 83298
↖ ↑ ↗
← S 43.775060°
W 13.971863°		 ← 220.54 m → S 43.775060°
W 13.969116°		 →
↑
220.56 m
↓
↑
220.56 m
↓
S 43.777044°
W 13.971863°		 ← 220.53 m →
48 642 m²		 S 43.777044°
W 13.969116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461193084716797 y=0.635517120361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461193084716797 × 217)
    floor (0.461193084716797 × 131072)
    floor (60449.5)     		tx = 60449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635517120361328 × 217)
    floor (0.635517120361328 × 131072)
    floor (83298.5)     		ty = 83298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60449 / 83298 ti = "17/60449/83298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60449/83298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60449 ÷ 217
    60449 ÷ 131072     		x = 0.461189270019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83298 ÷ 217
    83298 ÷ 131072     		y = 0.635513305664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461189270019531 × 2 - 1) × π
    -0.0776214599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24385501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635513305664062 × 2 - 1) × π
    -0.271026611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.851455211051437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24385501} λ = -0.24385501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.851455211051437))-π/2
    2×atan(0.426793405352072)-π/2
    2×0.403388696712186-π/2
    0.806777393424373-1.57079632675     		φ = -0.76401893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24385501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.971863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76401893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.775060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60449 KachelY 83298 -0.24385501 -0.76401893 -13.971863 -43.775060
    Oben rechts KachelX + 1 60450 KachelY 83298 -0.24380707 -0.76401893 -13.969116 -43.775060
    Unten links KachelX 60449 KachelY + 1 83299 -0.24385501 -0.76405355 -13.971863 -43.777044
    Unten rechts KachelX + 1 60450 KachelY + 1 83299 -0.24380707 -0.76405355 -13.969116 -43.777044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76401893--0.76405355) × R
    3.46199999999852e-05 × 6371000     		dl = 220.564019999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76401893--0.76405355) × R
    3.46199999999852e-05 × 6371000     		dr = 220.564019999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24385501--0.24380707) × cos(-0.76401893) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.722061437436161 × 6371000     		do = 220.536148854514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24385501--0.24380707) × cos(-0.76405355) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.722037485885593 × 6371000     		du = 220.528833434458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76401893)-sin(-0.76405355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722061437436161-0.722037485885593)×R²
    abs(-0.24380707--0.24385501)×2.39515505680021e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39515505680021e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39515505680021e-05×40589641000000     		ar = 48641.532792237m²