Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60448 / 83296
↖ ↑ ↗
← S 43.771094°
W 13.974610°		 ← 220.55 m → S 43.771094°
W 13.971863°		 →
↑
220.56 m
↓
↑
220.56 m
↓
S 43.773077°
W 13.974610°		 ← 220.54 m →
48 645 m²		 S 43.773077°
W 13.971863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461185455322266 y=0.635501861572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461185455322266 × 217)
    floor (0.461185455322266 × 131072)
    floor (60448.5)     		tx = 60448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635501861572266 × 217)
    floor (0.635501861572266 × 131072)
    floor (83296.5)     		ty = 83296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60448 / 83296 ti = "17/60448/83296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60448/83296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60448 ÷ 217
    60448 ÷ 131072     		x = 0.461181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83296 ÷ 217
    83296 ÷ 131072     		y = 0.635498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461181640625 × 2 - 1) × π
    -0.07763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24390295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635498046875 × 2 - 1) × π
    -0.27099609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.851359337252197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24390295} λ = -0.24390295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.851359337252197))-π/2
    2×atan(0.426834325618894)-π/2
    2×0.403423311246641-π/2
    0.806846622493282-1.57079632675     		φ = -0.76394970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24390295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.974610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76394970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.771094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60448 KachelY 83296 -0.24390295 -0.76394970 -13.974610 -43.771094
    Oben rechts KachelX + 1 60449 KachelY 83296 -0.24385501 -0.76394970 -13.971863 -43.771094
    Unten links KachelX 60448 KachelY + 1 83297 -0.24390295 -0.76398432 -13.974610 -43.773077
    Unten rechts KachelX + 1 60449 KachelY + 1 83297 -0.24385501 -0.76398432 -13.971863 -43.773077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76394970--0.76398432) × R
    3.46200000000962e-05 × 6371000     		dl = 220.564020000613m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76394970--0.76398432) × R
    3.46200000000962e-05 × 6371000     		dr = 220.564020000613m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24390295--0.24385501) × cos(-0.76394970) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.722109331023211 × 6371000     		do = 220.550776788652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24390295--0.24385501) × cos(-0.76398432) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.722085381203267 × 6371000     		du = 220.543461897173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76394970)-sin(-0.76398432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722109331023211-0.722085381203267)×R²
    abs(-0.24385501--0.24390295)×2.39498199439137e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39498199439137e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39498199439137e-05×40589641000000     		ar = 48644.7592465751m²