Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60447 / 60051
↖ ↑ ↗
← S 81.636546°
E152.045288°		 ← 88.84 m → S 81.636546°
E152.050781°		 →
↑
88.88 m
↓
↑
88.88 m
↓
S 81.637345°
E152.045288°		 ← 88.83 m →
7 895 m²		 S 81.637345°
E152.050781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922355651855469 y=0.916313171386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922355651855469 × 216)
    floor (0.922355651855469 × 65536)
    floor (60447.5)     		tx = 60447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916313171386719 × 216)
    floor (0.916313171386719 × 65536)
    floor (60051.5)     		ty = 60051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60447 / 60051 ti = "16/60447/60051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60447/60051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60447 ÷ 216
    60447 ÷ 65536     		x = 0.922348022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60051 ÷ 216
    60051 ÷ 65536     		y = 0.916305541992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922348022460938 × 2 - 1) × π
    0.844696044921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.65369089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916305541992188 × 2 - 1) × π
    -0.832611083984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.61572486466798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65369089} λ = 2.65369089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61572486466798))-π/2
    2×atan(0.0731147711687096)-π/2
    2×0.0729849025525649-π/2
    0.14596980510513-1.57079632675     		φ = -1.42482652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65369089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.045288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42482652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.636546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60447 KachelY 60051 2.65369089 -1.42482652 152.045288 -81.636546
    Oben rechts KachelX + 1 60448 KachelY 60051 2.65378676 -1.42482652 152.050781 -81.636546
    Unten links KachelX 60447 KachelY + 1 60052 2.65369089 -1.42484047 152.045288 -81.637345
    Unten rechts KachelX + 1 60448 KachelY + 1 60052 2.65378676 -1.42484047 152.050781 -81.637345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42482652--1.42484047) × R
    1.39499999998183e-05 × 6371000     		dl = 88.8754499988422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42482652--1.42484047) × R
    1.39499999998183e-05 × 6371000     		dr = 88.8754499988422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65369089-2.65378676) × cos(-1.42482652) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.145451991161824 × 6371000     		do = 88.8402973237882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65369089-2.65378676) × cos(-1.42484047) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.145438189501586 × 6371000     		du = 88.8318674385091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42482652)-sin(-1.42484047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145451991161824-0.145438189501586)×R²
    abs(2.65378676-2.65369089)×1.38016602380664e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.38016602380664e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.38016602380664e-05×40589641000000     		ar = 7895.34679789687m²