Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60446 / 83295
↖ ↑ ↗
← S 43.769111°
W 13.980103°		 ← 220.56 m → S 43.769111°
W 13.977356°		 →
↑
220.50 m
↓
↑
220.50 m
↓
S 43.771094°
W 13.980103°		 ← 220.55 m →
48 632 m²		 S 43.771094°
W 13.977356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461170196533203 y=0.635494232177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461170196533203 × 217)
    floor (0.461170196533203 × 131072)
    floor (60446.5)     		tx = 60446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635494232177734 × 217)
    floor (0.635494232177734 × 131072)
    floor (83295.5)     		ty = 83295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60446 / 83295 ti = "17/60446/83295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60446/83295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60446 ÷ 217
    60446 ÷ 131072     		x = 0.461166381835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83295 ÷ 217
    83295 ÷ 131072     		y = 0.635490417480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461166381835938 × 2 - 1) × π
    -0.077667236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24399882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635490417480469 × 2 - 1) × π
    -0.270980834960938 × 3.1415926535     		Φ = -0.851311400352577
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24399882} λ = -0.24399882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.851311400352577))-π/2
    2×atan(0.426854787223544)-π/2
    2×0.403440619374807-π/2
    0.806881238749613-1.57079632675     		φ = -0.76391509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24399882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.980103°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76391509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.769111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60446 KachelY 83295 -0.24399882 -0.76391509 -13.980103 -43.769111
    Oben rechts KachelX + 1 60447 KachelY 83295 -0.24395088 -0.76391509 -13.977356 -43.769111
    Unten links KachelX 60446 KachelY + 1 83296 -0.24399882 -0.76394970 -13.980103 -43.771094
    Unten rechts KachelX + 1 60447 KachelY + 1 83296 -0.24395088 -0.76394970 -13.977356 -43.771094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76391509--0.76394970) × R
    3.4609999999935e-05 × 6371000     		dl = 220.500309999586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76391509--0.76394970) × R
    3.4609999999935e-05 × 6371000     		dr = 220.500309999586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24399882--0.24395088) × cos(-0.76391509) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.722133273060135 × 6371000     		do = 220.558089302997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24399882--0.24395088) × cos(-0.76394970) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.722109331023211 × 6371000     		du = 220.550776788652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76391509)-sin(-0.76394970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722133273060135-0.722109331023211)×R²
    abs(-0.24395088--0.24399882)×2.39420369242405e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39420369242405e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39420369242405e-05×40589641000000     		ar = 48632.3208633425m²