Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60445 / 34597
↖ ↑ ↗
← N 64.428965°
W 13.982849°		 ← 131.83 m → N 64.428965°
W 13.980103°		 →
↑
131.88 m
↓
↑
131.88 m
↓
N 64.427779°
W 13.982849°		 ← 131.84 m →
17 386 m²		 N 64.427779°
W 13.980103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461162567138672 y=0.263957977294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461162567138672 × 217)
    floor (0.461162567138672 × 131072)
    floor (60445.5)     		tx = 60445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263957977294922 × 217)
    floor (0.263957977294922 × 131072)
    floor (34597.5)     		ty = 34597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60445 / 34597 ti = "17/60445/34597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60445/34597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60445 ÷ 217
    60445 ÷ 131072     		x = 0.461158752441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34597 ÷ 217
    34597 ÷ 131072     		y = 0.263954162597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461158752441406 × 2 - 1) × π
    -0.0776824951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24404676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263954162597656 × 2 - 1) × π
    0.472091674804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.48311973734492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24404676} λ = -0.24404676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48311973734492))-π/2
    2×atan(4.40667191760747)-π/2
    2×1.34764695115497-π/2
    2.69529390230994-1.57079632675     		φ = 1.12449758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24404676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.982849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12449758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.428965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60445 KachelY 34597 -0.24404676 1.12449758 -13.982849 64.428965
    Oben rechts KachelX + 1 60446 KachelY 34597 -0.24399882 1.12449758 -13.980103 64.428965
    Unten links KachelX 60445 KachelY + 1 34598 -0.24404676 1.12447688 -13.982849 64.427779
    Unten rechts KachelX + 1 60446 KachelY + 1 34598 -0.24399882 1.12447688 -13.980103 64.427779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12449758-1.12447688) × R
    2.07000000000956e-05 × 6371000     		dl = 131.879700000609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12449758-1.12447688) × R
    2.07000000000956e-05 × 6371000     		dr = 131.879700000609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24404676--0.24399882) × cos(1.12449758) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.431629779644172 × 6371000     		do = 131.830844853848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24404676--0.24399882) × cos(1.12447688) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.431648452004261 × 6371000     		du = 131.836547873246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12449758)-sin(1.12447688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431629779644172-0.431648452004261)×R²
    abs(-0.24399882--0.24404676)×1.86723600886785e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86723600886785e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86723600886785e-05×40589641000000     		ar = 17386.1883269557m²