Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60443 / 83326
↖ ↑ ↗
← S 43.830564°
W 13.988342°		 ← 220.33 m → S 43.830564°
W 13.985596°		 →
↑
220.31 m
↓
↑
220.31 m
↓
S 43.832546°
W 13.988342°		 ← 220.32 m →
48 540 m²		 S 43.832546°
W 13.985596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461147308349609 y=0.635730743408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461147308349609 × 217)
    floor (0.461147308349609 × 131072)
    floor (60443.5)     		tx = 60443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635730743408203 × 217)
    floor (0.635730743408203 × 131072)
    floor (83326.5)     		ty = 83326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60443 / 83326 ti = "17/60443/83326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60443/83326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60443 ÷ 217
    60443 ÷ 131072     		x = 0.461143493652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83326 ÷ 217
    83326 ÷ 131072     		y = 0.635726928710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461143493652344 × 2 - 1) × π
    -0.0777130126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24414263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635726928710938 × 2 - 1) × π
    -0.271453857421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.852797444240799
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24414263} λ = -0.24414263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.852797444240799))-π/2
    2×atan(0.426220933359809)-π/2
    2×0.402904334299766-π/2
    0.805808668599532-1.57079632675     		φ = -0.76498766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24414263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.988342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76498766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.830564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60443 KachelY 83326 -0.24414263 -0.76498766 -13.988342 -43.830564
    Oben rechts KachelX + 1 60444 KachelY 83326 -0.24409469 -0.76498766 -13.985596 -43.830564
    Unten links KachelX 60443 KachelY + 1 83327 -0.24414263 -0.76502224 -13.988342 -43.832546
    Unten rechts KachelX + 1 60444 KachelY + 1 83327 -0.24409469 -0.76502224 -13.985596 -43.832546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76498766--0.76502224) × R
    3.45800000000063e-05 × 6371000     		dl = 220.30918000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76498766--0.76502224) × R
    3.45800000000063e-05 × 6371000     		dr = 220.30918000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24414263--0.24409469) × cos(-0.76498766) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.721390903288244 × 6371000     		do = 220.331350466063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24414263--0.24409469) × cos(-0.76502224) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.721366955235355 × 6371000     		du = 220.324036114288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76498766)-sin(-0.76502224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721390903288244-0.721366955235355)×R²
    abs(-0.24409469--0.24414263)×2.39480528885228e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39480528885228e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39480528885228e-05×40589641000000     		ar = 48540.2134449213m²