Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60441 / 83324
↖ ↑ ↗
← S 43.826601°
W 13.993835°		 ← 220.30 m → S 43.826601°
W 13.991089°		 →
↑
220.37 m
↓
↑
220.37 m
↓
S 43.828583°
W 13.993835°		 ← 220.29 m →
48 547 m²		 S 43.828583°
W 13.991089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461132049560547 y=0.635715484619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461132049560547 × 217)
    floor (0.461132049560547 × 131072)
    floor (60441.5)     		tx = 60441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635715484619141 × 217)
    floor (0.635715484619141 × 131072)
    floor (83324.5)     		ty = 83324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60441 / 83324 ti = "17/60441/83324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60441/83324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60441 ÷ 217
    60441 ÷ 131072     		x = 0.461128234863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83324 ÷ 217
    83324 ÷ 131072     		y = 0.635711669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461128234863281 × 2 - 1) × π
    -0.0777435302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24423850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635711669921875 × 2 - 1) × π
    -0.27142333984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.852701570441559
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24423850} λ = -0.24423850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.852701570441559))-π/2
    2×atan(0.426261798738934)-π/2
    2×0.402938916691158-π/2
    0.805877833382315-1.57079632675     		φ = -0.76491849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24423850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.993835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76491849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.826601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60441 KachelY 83324 -0.24423850 -0.76491849 -13.993835 -43.826601
    Oben rechts KachelX + 1 60442 KachelY 83324 -0.24419057 -0.76491849 -13.991089 -43.826601
    Unten links KachelX 60441 KachelY + 1 83325 -0.24423850 -0.76495308 -13.993835 -43.828583
    Unten rechts KachelX + 1 60442 KachelY + 1 83325 -0.24419057 -0.76495308 -13.991089 -43.828583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76491849--0.76495308) × R
    3.45899999999455e-05 × 6371000     		dl = 220.372889999653m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76491849--0.76495308) × R
    3.45899999999455e-05 × 6371000     		dr = 220.372889999653m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24423850--0.24419057) × cos(-0.76491849) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.721438803730908 × 6371000     		do = 220.300017628049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24423850--0.24419057) × cos(-0.76495308) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.72141485047851 × 6371000     		du = 220.292703214272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76491849)-sin(-0.76495308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721438803730908-0.72141485047851)×R²
    abs(-0.24419057--0.24423850)×2.39532523975683e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39532523975683e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39532523975683e-05×40589641000000     		ar = 48547.3456074398m²