Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60440 / 83287
↖ ↑ ↗
← S 43.753241°
W 13.996582°		 ← 220.62 m → S 43.753241°
W 13.993835°		 →
↑
220.56 m
↓
↑
220.56 m
↓
S 43.755225°
W 13.996582°		 ← 220.61 m →
48 659 m²		 S 43.755225°
W 13.993835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461124420166016 y=0.635433197021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461124420166016 × 217)
    floor (0.461124420166016 × 131072)
    floor (60440.5)     		tx = 60440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635433197021484 × 217)
    floor (0.635433197021484 × 131072)
    floor (83287.5)     		ty = 83287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60440 / 83287 ti = "17/60440/83287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60440/83287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60440 ÷ 217
    60440 ÷ 131072     		x = 0.46112060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83287 ÷ 217
    83287 ÷ 131072     		y = 0.635429382324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46112060546875 × 2 - 1) × π
    -0.0777587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24428644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635429382324219 × 2 - 1) × π
    -0.270858764648438 × 3.1415926535     		Φ = -0.850927905155617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24428644} λ = -0.24428644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.850927905155617))-π/2
    2×atan(0.427018515376717)-π/2
    2×0.403579105062416-π/2
    0.807158210124832-1.57079632675     		φ = -0.76363812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24428644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.996582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76363812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.753241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60440 KachelY 83287 -0.24428644 -0.76363812 -13.996582 -43.753241
    Oben rechts KachelX + 1 60441 KachelY 83287 -0.24423850 -0.76363812 -13.993835 -43.753241
    Unten links KachelX 60440 KachelY + 1 83288 -0.24428644 -0.76367274 -13.996582 -43.755225
    Unten rechts KachelX + 1 60441 KachelY + 1 83288 -0.24423850 -0.76367274 -13.993835 -43.755225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76363812--0.76367274) × R
    3.46199999999852e-05 × 6371000     		dl = 220.564019999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76363812--0.76367274) × R
    3.46199999999852e-05 × 6371000     		dr = 220.564019999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24428644--0.24423850) × cos(-0.76363812) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.722324840452657 × 6371000     		do = 220.616598915618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24428644--0.24423850) × cos(-0.76367274) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.722300898423067 × 6371000     		du = 220.609286403513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76363812)-sin(-0.76367274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722324840452657-0.722300898423067)×R²
    abs(-0.24423850--0.24428644)×2.39420295897741e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39420295897741e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39420295897741e-05×40589641000000     		ar = 48659.2775017245m²