Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60440 / 60056
↖ ↑ ↗
← S 81.640540°
E152.006836°		 ← 88.81 m → S 81.640540°
E152.012329°		 →
↑
88.81 m
↓
↑
88.81 m
↓
S 81.641339°
E152.006836°		 ← 88.80 m →
7 887 m²		 S 81.641339°
E152.012329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922248840332031 y=0.916389465332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922248840332031 × 216)
    floor (0.922248840332031 × 65536)
    floor (60440.5)     		tx = 60440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916389465332031 × 216)
    floor (0.916389465332031 × 65536)
    floor (60056.5)     		ty = 60056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60440 / 60056 ti = "16/60440/60056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60440/60056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60440 ÷ 216
    60440 ÷ 65536     		x = 0.9222412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60056 ÷ 216
    60056 ÷ 65536     		y = 0.9163818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9222412109375 × 2 - 1) × π
    0.844482421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.65301977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9163818359375 × 2 - 1) × π
    -0.832763671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.61620423366418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65301977} λ = 2.65301977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61620423366418))-π/2
    2×atan(0.0730797306135959)-π/2
    2×0.0729500482313457-π/2
    0.145900096462691-1.57079632675     		φ = -1.42489623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65301977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.006836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42489623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.640540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60440 KachelY 60056 2.65301977 -1.42489623 152.006836 -81.640540
    Oben rechts KachelX + 1 60441 KachelY 60056 2.65311565 -1.42489623 152.012329 -81.640540
    Unten links KachelX 60440 KachelY + 1 60057 2.65301977 -1.42491017 152.006836 -81.641339
    Unten rechts KachelX + 1 60441 KachelY + 1 60057 2.65311565 -1.42491017 152.012329 -81.641339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42489623--1.42491017) × R
    1.3939999999879e-05 × 6371000     		dl = 88.8117399992294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42489623--1.42491017) × R
    1.3939999999879e-05 × 6371000     		dr = 88.8117399992294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65301977-2.65311565) × cos(-1.42489623) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.145383022152651 × 6371000     		do = 88.8074342487616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65301977-2.65311565) × cos(-1.42491017) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.145369230244783 × 6371000     		du = 88.7990094414281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42489623)-sin(-1.42491017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145383022152651-0.145369230244783)×R²
    abs(2.65311565-2.65301977)×1.37919078685711e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.37919078685711e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.37919078685711e-05×40589641000000     		ar = 7886.7686493985m²