Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6044 / 10388
↖ ↑ ↗
← S 43.389082°
W 47.197265°		 ← 1 775.50 m → S 43.389082°
W 47.175293°		 →
↑
1 775.28 m
↓
↑
1 775.28 m
↓
S 43.405047°
W 47.197265°		 ← 1 775.03 m →
3 151 589 m²		 S 43.405047°
W 47.175293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.368927001953125 y=0.634063720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.368927001953125 × 214)
    floor (0.368927001953125 × 16384)
    floor (6044.5)     		tx = 6044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634063720703125 × 214)
    floor (0.634063720703125 × 16384)
    floor (10388.5)     		ty = 10388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6044 / 10388 ti = "14/6044/10388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6044/10388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6044 ÷ 214
    6044 ÷ 16384     		x = 0.368896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10388 ÷ 214
    10388 ÷ 16384     		y = 0.634033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.368896484375 × 2 - 1) × π
    -0.26220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.82374768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634033203125 × 2 - 1) × π
    -0.26806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.842155452525146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82374768} λ = -0.82374768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.842155452525146))-π/2
    2×atan(0.430780994029349)-π/2
    2×0.406756993778591-π/2
    0.813513987557183-1.57079632675     		φ = -0.75728234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82374768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.197265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75728234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.389082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6044 KachelY 10388 -0.82374768 -0.75728234 -47.197265 -43.389082
    Oben rechts KachelX + 1 6045 KachelY 10388 -0.82336419 -0.75728234 -47.175293 -43.389082
    Unten links KachelX 6044 KachelY + 1 10389 -0.82374768 -0.75756099 -47.197265 -43.405047
    Unten rechts KachelX + 1 6045 KachelY + 1 10389 -0.82336419 -0.75756099 -47.175293 -43.405047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75728234--0.75756099) × R
    0.000278649999999936 × 6371000     		dl = 1775.27914999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75728234--0.75756099) × R
    0.000278649999999936 × 6371000     		dr = 1775.27914999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82374768--0.82336419) × cos(-0.75728234) × R
    0.000383489999999931 × 0.72670558599051 × 6371000     		do = 1775.49783566731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82374768--0.82336419) × cos(-0.75756099) × R
    0.000383489999999931 × 0.726514139428596 × 6371000     		du = 1775.03009059575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75728234)-sin(-0.75756099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72670558599051-0.726514139428596)×R²
    abs(-0.82336419--0.82374768)×0.000191446561913611×R²
    0.000383489999999931×0.000191446561913611×6371000²
    0.000383489999999931×0.000191446561913611×40589641000000     		ar = 3151589.11988578m²