Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60439 / 83286
↖ ↑ ↗
← S 43.751257°
W 13.999329°		 ← 220.62 m → S 43.751257°
W 13.996582°		 →
↑
220.63 m
↓
↑
220.63 m
↓
S 43.753241°
W 13.999329°		 ← 220.62 m →
48 675 m²		 S 43.753241°
W 13.996582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461116790771484 y=0.635425567626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461116790771484 × 217)
    floor (0.461116790771484 × 131072)
    floor (60439.5)     		tx = 60439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635425567626953 × 217)
    floor (0.635425567626953 × 131072)
    floor (83286.5)     		ty = 83286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60439 / 83286 ti = "17/60439/83286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60439/83286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60439 ÷ 217
    60439 ÷ 131072     		x = 0.461112976074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83286 ÷ 217
    83286 ÷ 131072     		y = 0.635421752929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461112976074219 × 2 - 1) × π
    -0.0777740478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24433438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635421752929688 × 2 - 1) × π
    -0.270843505859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.850879968255997
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24433438} λ = -0.24433438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.850879968255997))-π/2
    2×atan(0.427038985811066)-π/2
    2×0.403596418356127-π/2
    0.807192836712255-1.57079632675     		φ = -0.76360349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24433438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.999329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76360349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.751257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60439 KachelY 83286 -0.24433438 -0.76360349 -13.999329 -43.751257
    Oben rechts KachelX + 1 60440 KachelY 83286 -0.24428644 -0.76360349 -13.996582 -43.751257
    Unten links KachelX 60439 KachelY + 1 83287 -0.24433438 -0.76363812 -13.999329 -43.753241
    Unten rechts KachelX + 1 60440 KachelY + 1 83287 -0.24428644 -0.76363812 -13.996582 -43.753241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76360349--0.76363812) × R
    3.46299999999244e-05 × 6371000     		dl = 220.627729999519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76360349--0.76363812) × R
    3.46299999999244e-05 × 6371000     		dr = 220.627729999519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24433438--0.24428644) × cos(-0.76360349) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.722348788531797 × 6371000     		do = 220.623913275411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24433438--0.24428644) × cos(-0.76363812) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.722324840452657 × 6371000     		du = 220.616598915618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76360349)-sin(-0.76363812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722348788531797-0.722324840452657)×R²
    abs(-0.24428644--0.24433438)×2.39480791404123e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39480791404123e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39480791404123e-05×40589641000000     		ar = 48674.9462992389m²