Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60439 / 60079
↖ ↑ ↗
← S 81.658888°
E152.001343°		 ← 88.60 m → S 81.658888°
E152.006836°		 →
↑
88.62 m
↓
↑
88.62 m
↓
S 81.659685°
E152.001343°		 ← 88.60 m →
7 852 m²		 S 81.659685°
E152.006836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922233581542969 y=0.916740417480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922233581542969 × 216)
    floor (0.922233581542969 × 65536)
    floor (60439.5)     		tx = 60439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916740417480469 × 216)
    floor (0.916740417480469 × 65536)
    floor (60079.5)     		ty = 60079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60439 / 60079 ti = "16/60439/60079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60439/60079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60439 ÷ 216
    60439 ÷ 65536     		x = 0.922225952148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60079 ÷ 216
    60079 ÷ 65536     		y = 0.916732788085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922225952148438 × 2 - 1) × π
    0.844451904296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.65292390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916732788085938 × 2 - 1) × π
    -0.833465576171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.61840933104671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65292390} λ = 2.65292390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61840933104671))-π/2
    2×atan(0.0729187602338118)-π/2
    2×0.0727899310984616-π/2
    0.145579862196923-1.57079632675     		φ = -1.42521646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65292390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.001343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42521646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.658888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60439 KachelY 60079 2.65292390 -1.42521646 152.001343 -81.658888
    Oben rechts KachelX + 1 60440 KachelY 60079 2.65301977 -1.42521646 152.006836 -81.658888
    Unten links KachelX 60439 KachelY + 1 60080 2.65292390 -1.42523037 152.001343 -81.659685
    Unten rechts KachelX + 1 60440 KachelY + 1 60080 2.65301977 -1.42523037 152.006836 -81.659685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42521646--1.42523037) × R
    1.39100000000614e-05 × 6371000     		dl = 88.620610000391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42521646--1.42523037) × R
    1.39100000000614e-05 × 6371000     		dr = 88.620610000391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65292390-2.65301977) × cos(-1.42521646) × R
    9.5870000000442e-05 × 0.145066187004077 × 6371000     		do = 88.6046528630315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65292390-2.65301977) × cos(-1.42523037) × R
    9.5870000000442e-05 × 0.145052424130675 × 6371000     		du = 88.5962466682773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42521646)-sin(-1.42523037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145066187004077-0.145052424130675)×R²
    abs(2.65301977-2.65292390)×1.37628734022954e-05×R²
    9.5870000000442e-05×1.37628734022954e-05×6371000²
    9.5870000000442e-05×1.37628734022954e-05×40589641000000     		ar = 7851.82590459911m²