Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60439 / 60058
↖ ↑ ↗
← S 81.642137°
E152.001343°		 ← 88.78 m → S 81.642137°
E152.006836°		 →
↑
88.81 m
↓
↑
88.81 m
↓
S 81.642936°
E152.001343°		 ← 88.77 m →
7 884 m²		 S 81.642936°
E152.006836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922233581542969 y=0.916419982910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922233581542969 × 216)
    floor (0.922233581542969 × 65536)
    floor (60439.5)     		tx = 60439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916419982910156 × 216)
    floor (0.916419982910156 × 65536)
    floor (60058.5)     		ty = 60058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60439 / 60058 ti = "16/60439/60058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60439/60058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60439 ÷ 216
    60439 ÷ 65536     		x = 0.922225952148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60058 ÷ 216
    60058 ÷ 65536     		y = 0.916412353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922225952148438 × 2 - 1) × π
    0.844451904296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.65292390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916412353515625 × 2 - 1) × π
    -0.83282470703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.61639598126266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65292390} λ = 2.65292390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61639598126266))-π/2
    2×atan(0.0730657190941337)-π/2
    2×0.0729361111307483-π/2
    0.145872222261497-1.57079632675     		φ = -1.42492410
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65292390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 152.001343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42492410 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.642137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60439 KachelY 60058 2.65292390 -1.42492410 152.001343 -81.642137
    Oben rechts KachelX + 1 60440 KachelY 60058 2.65301977 -1.42492410 152.006836 -81.642137
    Unten links KachelX 60439 KachelY + 1 60059 2.65292390 -1.42493804 152.001343 -81.642936
    Unten rechts KachelX + 1 60440 KachelY + 1 60059 2.65301977 -1.42493804 152.006836 -81.642936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42492410--1.42493804) × R
    1.39400000001011e-05 × 6371000     		dl = 88.8117400006441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42492410--1.42493804) × R
    1.39400000001011e-05 × 6371000     		dr = 88.8117400006441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65292390-2.65301977) × cos(-1.42492410) × R
    9.5870000000442e-05 × 0.14535544820246 × 6371000     		do = 88.7813300653406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65292390-2.65301977) × cos(-1.42493804) × R
    9.5870000000442e-05 × 0.145341656238117 × 6371000     		du = 88.7729061021955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42492410)-sin(-1.42493804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14535544820246-0.145341656238117)×R²
    abs(2.65301977-2.65292390)×1.37919643432016e-05×R²
    9.5870000000442e-05×1.37919643432016e-05×6371000²
    9.5870000000442e-05×1.37919643432016e-05×40589641000000     		ar = 7884.45032962243m²