Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60439 / 41916
↖ ↑ ↗
← N 54.271640°
W 13.999329°		 ← 178.35 m → N 54.271640°
W 13.996582°		 →
↑
178.39 m
↓
↑
178.39 m
↓
N 54.270036°
W 13.999329°		 ← 178.36 m →
31 816 m²		 N 54.270036°
W 13.996582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461116790771484 y=0.319797515869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461116790771484 × 217)
    floor (0.461116790771484 × 131072)
    floor (60439.5)     		tx = 60439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319797515869141 × 217)
    floor (0.319797515869141 × 131072)
    floor (41916.5)     		ty = 41916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60439 / 41916 ti = "17/60439/41916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60439/41916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60439 ÷ 217
    60439 ÷ 131072     		x = 0.461112976074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41916 ÷ 217
    41916 ÷ 131072     		y = 0.319793701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461112976074219 × 2 - 1) × π
    -0.0777740478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24433438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319793701171875 × 2 - 1) × π
    0.36041259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13226956902573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24433438} λ = -0.24433438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13226956902573))-π/2
    2×atan(3.10269028504266)-π/2
    2×1.25900756734118-π/2
    2.51801513468237-1.57079632675     		φ = 0.94721881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24433438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.999329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94721881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.271640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60439 KachelY 41916 -0.24433438 0.94721881 -13.999329 54.271640
    Oben rechts KachelX + 1 60440 KachelY 41916 -0.24428644 0.94721881 -13.996582 54.271640
    Unten links KachelX 60439 KachelY + 1 41917 -0.24433438 0.94719081 -13.999329 54.270036
    Unten rechts KachelX + 1 60440 KachelY + 1 41917 -0.24428644 0.94719081 -13.996582 54.270036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94721881-0.94719081) × R
    2.7999999999917e-05 × 6371000     		dl = 178.387999999471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94721881-0.94719081) × R
    2.7999999999917e-05 × 6371000     		dr = 178.387999999471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24433438--0.24428644) × cos(0.94721881) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.583943099952129 × 6371000     		do = 178.351253420759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24433438--0.24428644) × cos(0.94719081) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.583965829971734 × 6371000     		du = 178.358195753817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94721881)-sin(0.94719081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583943099952129-0.583965829971734)×R²
    abs(-0.24428644--0.24433438)×2.27300196055102e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.27300196055102e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.27300196055102e-05×40589641000000     		ar = 31816.3426116176m²