Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60438 / 84074
↖ ↑ ↗
← S 45.294211°
W 14.002075°		 ← 214.81 m → S 45.294211°
W 13.999329°		 →
↑
214.89 m
↓
↑
214.89 m
↓
S 45.296143°
W 14.002075°		 ← 214.80 m →
46 161 m²		 S 45.296143°
W 13.999329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461109161376953 y=0.641437530517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461109161376953 × 217)
    floor (0.461109161376953 × 131072)
    floor (60438.5)     		tx = 60438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641437530517578 × 217)
    floor (0.641437530517578 × 131072)
    floor (84074.5)     		ty = 84074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60438 / 84074 ti = "17/60438/84074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60438/84074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60438 ÷ 217
    60438 ÷ 131072     		x = 0.461105346679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84074 ÷ 217
    84074 ÷ 131072     		y = 0.641433715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461105346679688 × 2 - 1) × π
    -0.077789306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24438231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641433715820312 × 2 - 1) × π
    -0.282867431640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.888654245156601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24438231} λ = -0.24438231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.888654245156601))-π/2
    2×atan(0.411208766747751)-π/2
    2×0.390131606268123-π/2
    0.780263212536246-1.57079632675     		φ = -0.79053311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24438231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.002075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79053311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.294211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60438 KachelY 84074 -0.24438231 -0.79053311 -14.002075 -45.294211
    Oben rechts KachelX + 1 60439 KachelY 84074 -0.24433438 -0.79053311 -13.999329 -45.294211
    Unten links KachelX 60438 KachelY + 1 84075 -0.24438231 -0.79056684 -14.002075 -45.296143
    Unten rechts KachelX + 1 60439 KachelY + 1 84075 -0.24433438 -0.79056684 -13.999329 -45.296143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79053311--0.79056684) × R
    3.37299999999541e-05 × 6371000     		dl = 214.893829999707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79053311--0.79056684) × R
    3.37299999999541e-05 × 6371000     		dr = 214.893829999707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24438231--0.24433438) × cos(-0.79053311) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.703466519218491 × 6371000     		do = 214.8119643456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24438231--0.24433438) × cos(-0.79056684) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.703442545949445 × 6371000     		du = 214.804643819498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79053311)-sin(-0.79056684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703466519218491-0.703442545949445)×R²
    abs(-0.24433438--0.24438231)×2.39732690460182e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39732690460182e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39732690460182e-05×40589641000000     		ar = 46160.9791843518m²