Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 60438 / 60078
↖ ↑ ↗
← S 81.658092°
E151.995849°		 ← 88.62 m → S 81.658092°
E152.001343°		 →
↑
88.56 m
↓
↑
88.56 m
↓
S 81.658888°
E151.995849°		 ← 88.61 m →
7 848 m²		 S 81.658888°
E152.001343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922218322753906 y=0.916725158691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922218322753906 × 216)
    floor (0.922218322753906 × 65536)
    floor (60438.5)     		tx = 60438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916725158691406 × 216)
    floor (0.916725158691406 × 65536)
    floor (60078.5)     		ty = 60078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60438 / 60078 ti = "16/60438/60078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60438/60078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60438 ÷ 216
    60438 ÷ 65536     		x = 0.922210693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60078 ÷ 216
    60078 ÷ 65536     		y = 0.916717529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922210693359375 × 2 - 1) × π
    0.84442138671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.65282802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916717529296875 × 2 - 1) × π
    -0.83343505859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.61831345724747
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65282802} λ = 2.65282802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61831345724747))-π/2
    2×atan(0.0729257515675288)-π/2
    2×0.0727968854513264-π/2
    0.145593770902653-1.57079632675     		φ = -1.42520256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65282802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.995849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42520256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.658092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60438 KachelY 60078 2.65282802 -1.42520256 151.995849 -81.658092
    Oben rechts KachelX + 1 60439 KachelY 60078 2.65292390 -1.42520256 152.001343 -81.658092
    Unten links KachelX 60438 KachelY + 1 60079 2.65282802 -1.42521646 151.995849 -81.658888
    Unten rechts KachelX + 1 60439 KachelY + 1 60079 2.65292390 -1.42521646 152.001343 -81.658888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42520256--1.42521646) × R
    1.38999999999001e-05 × 6371000     		dl = 88.5568999993636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42520256--1.42521646) × R
    1.38999999999001e-05 × 6371000     		dr = 88.5568999993636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65282802-2.65292390) × cos(-1.42520256) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.145079939955211 × 6371000     		do = 88.6222960398937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65282802-2.65292390) × cos(-1.42521646) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.145066187004077 × 6371000     		du = 88.613895029339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42520256)-sin(-1.42521646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145079939955211-0.145066187004077)×R²
    abs(2.65292390-2.65282802)×1.37529511342327e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.37529511342327e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.37529511342327e-05×40589641000000     		ar = 7847.74382459201m²