Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60438 / 41950
↖ ↑ ↗
← N 54.217073°
W 14.002075°		 ← 178.55 m → N 54.217073°
W 13.999329°		 →
↑
178.58 m
↓
↑
178.58 m
↓
N 54.215467°
W 14.002075°		 ← 178.56 m →
31 886 m²		 N 54.215467°
W 13.999329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461109161376953 y=0.320056915283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461109161376953 × 217)
    floor (0.461109161376953 × 131072)
    floor (60438.5)     		tx = 60438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320056915283203 × 217)
    floor (0.320056915283203 × 131072)
    floor (41950.5)     		ty = 41950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60438 / 41950 ti = "17/60438/41950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60438/41950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60438 ÷ 217
    60438 ÷ 131072     		x = 0.461105346679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41950 ÷ 217
    41950 ÷ 131072     		y = 0.320053100585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461105346679688 × 2 - 1) × π
    -0.077789306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24438231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320053100585938 × 2 - 1) × π
    0.359893798828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13063971443864
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24438231} λ = -0.24438231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13063971443864))-π/2
    2×atan(3.09763746984483)-π/2
    2×1.25853138128856-π/2
    2.51706276257712-1.57079632675     		φ = 0.94626644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24438231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.002075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94626644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.217073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60438 KachelY 41950 -0.24438231 0.94626644 -14.002075 54.217073
    Oben rechts KachelX + 1 60439 KachelY 41950 -0.24433438 0.94626644 -13.999329 54.217073
    Unten links KachelX 60438 KachelY + 1 41951 -0.24438231 0.94623841 -14.002075 54.215467
    Unten rechts KachelX + 1 60439 KachelY + 1 41951 -0.24433438 0.94623841 -13.999329 54.215467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94626644-0.94623841) × R
    2.80300000000677e-05 × 6371000     		dl = 178.579130000431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94626644-0.94623841) × R
    2.80300000000677e-05 × 6371000     		dr = 178.579130000431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24438231--0.24433438) × cos(0.94626644) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.584715963828047 × 6371000     		do = 178.550053687945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24438231--0.24433438) × cos(0.94623841) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.584738702602058 × 6371000     		du = 178.556997246136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94626644)-sin(0.94623841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584715963828047-0.584738702602058)×R²
    abs(-0.24433438--0.24438231)×2.27387740110441e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.27387740110441e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.27387740110441e-05×40589641000000     		ar = 31885.9332385151m²