Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60436 / 56301
↖ ↑ ↗
← N 24.574602°
W 14.007568°		 ← 277.76 m → N 24.574602°
W 14.004822°		 →
↑
277.78 m
↓
↑
277.78 m
↓
N 24.572104°
W 14.007568°		 ← 277.77 m →
77 156 m²		 N 24.572104°
W 14.004822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461093902587891 y=0.429546356201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461093902587891 × 217)
    floor (0.461093902587891 × 131072)
    floor (60436.5)     		tx = 60436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429546356201172 × 217)
    floor (0.429546356201172 × 131072)
    floor (56301.5)     		ty = 56301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60436 / 56301 ti = "17/60436/56301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60436/56301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60436 ÷ 217
    60436 ÷ 131072     		x = 0.461090087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56301 ÷ 217
    56301 ÷ 131072     		y = 0.429542541503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461090087890625 × 2 - 1) × π
    -0.07781982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24447819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429542541503906 × 2 - 1) × π
    0.140914916992188 × 3.1415926535     		Φ = 0.442697267991219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24447819} λ = -0.24447819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.442697267991219))-π/2
    2×atan(1.55690093924338)-π/2
    2×0.999852021772659-π/2
    1.99970404354532-1.57079632675     		φ = 0.42890772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24447819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.007568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42890772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.574602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60436 KachelY 56301 -0.24447819 0.42890772 -14.007568 24.574602
    Oben rechts KachelX + 1 60437 KachelY 56301 -0.24443025 0.42890772 -14.004822 24.574602
    Unten links KachelX 60436 KachelY + 1 56302 -0.24447819 0.42886412 -14.007568 24.572104
    Unten rechts KachelX + 1 60437 KachelY + 1 56302 -0.24443025 0.42886412 -14.004822 24.572104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42890772-0.42886412) × R
    4.3599999999977e-05 × 6371000     		dl = 277.775599999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42890772-0.42886412) × R
    4.3599999999977e-05 × 6371000     		dr = 277.775599999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24447819--0.24443025) × cos(0.42890772) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.909420546992046 × 6371000     		do = 277.76044353639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24447819--0.24443025) × cos(0.42886412) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.90943867839576 × 6371000     		du = 277.765981333786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42890772)-sin(0.42886412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909420546992046-0.90943867839576)×R²
    abs(-0.24443025--0.24447819)×1.81314037135394e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.81314037135394e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.81314037135394e-05×40589641000000     		ar = 77155.8430043458m²