Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60433 / 41041
↖ ↑ ↗
← N 55.651249°
W 14.015808°		 ← 172.33 m → N 55.651249°
W 14.013061°		 →
↑
172.34 m
↓
↑
172.34 m
↓
N 55.649699°
W 14.015808°		 ← 172.34 m →
29 699 m²		 N 55.649699°
W 14.013061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461071014404297 y=0.313121795654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461071014404297 × 217)
    floor (0.461071014404297 × 131072)
    floor (60433.5)     		tx = 60433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313121795654297 × 217)
    floor (0.313121795654297 × 131072)
    floor (41041.5)     		ty = 41041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60433 / 41041 ti = "17/60433/41041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60433/41041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60433 ÷ 217
    60433 ÷ 131072     		x = 0.461067199707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41041 ÷ 217
    41041 ÷ 131072     		y = 0.313117980957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461067199707031 × 2 - 1) × π
    -0.0778656005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24462200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313117980957031 × 2 - 1) × π
    0.373764038085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.17421435619328
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24462200} λ = -0.24462200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17421435619328))-π/2
    2×atan(3.23559991597669)-π/2
    2×1.27104692178035-π/2
    2.5420938435607-1.57079632675     		φ = 0.97129752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24462200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.015808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97129752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.651249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60433 KachelY 41041 -0.24462200 0.97129752 -14.015808 55.651249
    Oben rechts KachelX + 1 60434 KachelY 41041 -0.24457406 0.97129752 -14.013061 55.651249
    Unten links KachelX 60433 KachelY + 1 41042 -0.24462200 0.97127047 -14.015808 55.649699
    Unten rechts KachelX + 1 60434 KachelY + 1 41042 -0.24457406 0.97127047 -14.013061 55.649699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97129752-0.97127047) × R
    2.70500000000284e-05 × 6371000     		dl = 172.335550000181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97129752-0.97127047) × R
    2.70500000000284e-05 × 6371000     		dr = 172.335550000181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24462200--0.24457406) × cos(0.97129752) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.564228749892654 × 6371000     		do = 172.329983465226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24462200--0.24457406) × cos(0.97127047) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.56425108266682 × 6371000     		du = 172.336804469302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97129752)-sin(0.97127047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564228749892654-0.56425108266682)×R²
    abs(-0.24457406--0.24462200)×2.23327741664114e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23327741664114e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23327741664114e-05×40589641000000     		ar = 29699.1702347156m²