Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60433 / 40609
↖ ↑ ↗
← N 56.315013°
W 14.015808°		 ← 169.40 m → N 56.315013°
W 14.013061°		 →
↑
169.34 m
↓
↑
169.34 m
↓
N 56.313490°
W 14.015808°		 ← 169.40 m →
28 686 m²		 N 56.313490°
W 14.013061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461071014404297 y=0.309825897216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461071014404297 × 217)
    floor (0.461071014404297 × 131072)
    floor (60433.5)     		tx = 60433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309825897216797 × 217)
    floor (0.309825897216797 × 131072)
    floor (40609.5)     		ty = 40609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60433 / 40609 ti = "17/60433/40609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60433/40609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60433 ÷ 217
    60433 ÷ 131072     		x = 0.461067199707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40609 ÷ 217
    40609 ÷ 131072     		y = 0.309822082519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461067199707031 × 2 - 1) × π
    -0.0778656005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24462200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309822082519531 × 2 - 1) × π
    0.380355834960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.19492309682914
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24462200} λ = -0.24462200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19492309682914))-π/2
    2×atan(3.30330372620253)-π/2
    2×1.27683936467845-π/2
    2.55367872935691-1.57079632675     		φ = 0.98288240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24462200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.015808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98288240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.315013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60433 KachelY 40609 -0.24462200 0.98288240 -14.015808 56.315013
    Oben rechts KachelX + 1 60434 KachelY 40609 -0.24457406 0.98288240 -14.013061 56.315013
    Unten links KachelX 60433 KachelY + 1 40610 -0.24462200 0.98285582 -14.015808 56.313490
    Unten rechts KachelX + 1 60434 KachelY + 1 40610 -0.24457406 0.98285582 -14.013061 56.313490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98288240-0.98285582) × R
    2.65799999999983e-05 × 6371000     		dl = 169.341179999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98288240-0.98285582) × R
    2.65799999999983e-05 × 6371000     		dr = 169.341179999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24462200--0.24457406) × cos(0.98288240) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.554626410526204 × 6371000     		do = 169.397181858497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24462200--0.24457406) × cos(0.98285582) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.554648527534461 × 6371000     		du = 169.40393696211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98288240)-sin(0.98285582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554626410526204-0.554648527534461)×R²
    abs(-0.24457406--0.24462200)×2.21170082570499e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21170082570499e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21170082570499e-05×40589641000000     		ar = 28686.4906249498m²