Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60433 / 39989
↖ ↑ ↗
← N 57.247852°
W 14.015808°		 ← 165.24 m → N 57.247852°
W 14.013061°		 →
↑
165.20 m
↓
↑
165.20 m
↓
N 57.246366°
W 14.015808°		 ← 165.24 m →
27 298 m²		 N 57.246366°
W 14.013061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461071014404297 y=0.305095672607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461071014404297 × 217)
    floor (0.461071014404297 × 131072)
    floor (60433.5)     		tx = 60433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305095672607422 × 217)
    floor (0.305095672607422 × 131072)
    floor (39989.5)     		ty = 39989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60433 / 39989 ti = "17/60433/39989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60433/39989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60433 ÷ 217
    60433 ÷ 131072     		x = 0.461067199707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39989 ÷ 217
    39989 ÷ 131072     		y = 0.305091857910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461067199707031 × 2 - 1) × π
    -0.0778656005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24462200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305091857910156 × 2 - 1) × π
    0.389816284179688 × 3.1415926535     		Φ = 1.22464397459357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24462200} λ = -0.24462200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22464397459357))-π/2
    2×atan(3.40295432889804)-π/2
    2×1.28497991438017-π/2
    2.56995982876033-1.57079632675     		φ = 0.99916350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24462200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.015808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99916350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.247852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60433 KachelY 39989 -0.24462200 0.99916350 -14.015808 57.247852
    Oben rechts KachelX + 1 60434 KachelY 39989 -0.24457406 0.99916350 -14.013061 57.247852
    Unten links KachelX 60433 KachelY + 1 39990 -0.24462200 0.99913757 -14.015808 57.246366
    Unten rechts KachelX + 1 60434 KachelY + 1 39990 -0.24457406 0.99913757 -14.013061 57.246366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99916350-0.99913757) × R
    2.59299999999518e-05 × 6371000     		dl = 165.200029999693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99916350-0.99913757) × R
    2.59299999999518e-05 × 6371000     		dr = 165.200029999693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24462200--0.24457406) × cos(0.99916350) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.541006007231379 × 6371000     		do = 165.237160103077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24462200--0.24457406) × cos(0.99913757) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.541027814665106 × 6371000     		du = 165.24382065466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99916350)-sin(0.99913757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541006007231379-0.541027814665106)×R²
    abs(-0.24457406--0.24462200)×2.18074337269281e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18074337269281e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18074337269281e-05×40589641000000     		ar = 27297.7339692554m²