Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60432 / 39988
↖ ↑ ↗
← N 57.249338°
W 14.018555°		 ← 165.23 m → N 57.249338°
W 14.015808°		 →
↑
165.26 m
↓
↑
165.26 m
↓
N 57.247852°
W 14.018555°		 ← 165.24 m →
27 307 m²		 N 57.247852°
W 14.015808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461063385009766 y=0.305088043212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461063385009766 × 217)
    floor (0.461063385009766 × 131072)
    floor (60432.5)     		tx = 60432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305088043212891 × 217)
    floor (0.305088043212891 × 131072)
    floor (39988.5)     		ty = 39988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60432 / 39988 ti = "17/60432/39988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60432/39988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60432 ÷ 217
    60432 ÷ 131072     		x = 0.4610595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39988 ÷ 217
    39988 ÷ 131072     		y = 0.305084228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4610595703125 × 2 - 1) × π
    -0.077880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24466994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305084228515625 × 2 - 1) × π
    0.38983154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.22469191149319
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24466994} λ = -0.24466994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22469191149319))-π/2
    2×atan(3.40311745988808)-π/2
    2×1.28499288119407-π/2
    2.56998576238814-1.57079632675     		φ = 0.99918944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24466994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.018555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99918944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.249338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60432 KachelY 39988 -0.24466994 0.99918944 -14.018555 57.249338
    Oben rechts KachelX + 1 60433 KachelY 39988 -0.24462200 0.99918944 -14.015808 57.249338
    Unten links KachelX 60432 KachelY + 1 39989 -0.24466994 0.99916350 -14.018555 57.247852
    Unten rechts KachelX + 1 60433 KachelY + 1 39989 -0.24462200 0.99916350 -14.015808 57.247852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99918944-0.99916350) × R
    2.59400000000021e-05 × 6371000     		dl = 165.263740000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99918944-0.99916350) × R
    2.59400000000021e-05 × 6371000     		dr = 165.263740000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24466994--0.24462200) × cos(0.99918944) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.540984191023571 × 6371000     		do = 165.230496871663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24466994--0.24462200) × cos(0.99916350) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.541006007231379 × 6371000     		du = 165.237160103077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99918944)-sin(0.99916350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540984191023571-0.541006007231379)×R²
    abs(-0.24462200--0.24466994)×2.18162078080564e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18162078080564e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18162078080564e-05×40589641000000     		ar = 27307.160471757m²