Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60432 / 14575
↖ ↑ ↗
← N 70.172064°
E151.962891°		 ← 207.20 m → N 70.172064°
E151.968384°		 →
↑
207.18 m
↓
↑
207.18 m
↓
N 70.170201°
E151.962891°		 ← 207.22 m →
42 930 m²		 N 70.170201°
E151.968384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.922126770019531 y=0.222404479980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.922126770019531 × 216)
    floor (0.922126770019531 × 65536)
    floor (60432.5)     		tx = 60432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222404479980469 × 216)
    floor (0.222404479980469 × 65536)
    floor (14575.5)     		ty = 14575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60432 / 14575 ti = "16/60432/14575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60432/14575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60432 ÷ 216
    60432 ÷ 65536     		x = 0.922119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14575 ÷ 216
    14575 ÷ 65536     		y = 0.222396850585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922119140625 × 2 - 1) × π
    0.84423828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.65225278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222396850585938 × 2 - 1) × π
    0.555206298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.74423202957536
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65225278} λ = 2.65225278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74423202957536))-π/2
    2×atan(5.72150584050864)-π/2
    2×1.39776494353055-π/2
    2.7955298870611-1.57079632675     		φ = 1.22473356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65225278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.962891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22473356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.172064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60432 KachelY 14575 2.65225278 1.22473356 151.962891 70.172064
    Oben rechts KachelX + 1 60433 KachelY 14575 2.65234866 1.22473356 151.968384 70.172064
    Unten links KachelX 60432 KachelY + 1 14576 2.65225278 1.22470104 151.962891 70.170201
    Unten rechts KachelX + 1 60433 KachelY + 1 14576 2.65234866 1.22470104 151.968384 70.170201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22473356-1.22470104) × R
    3.25199999999803e-05 × 6371000     		dl = 207.184919999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22473356-1.22470104) × R
    3.25199999999803e-05 × 6371000     		dr = 207.184919999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65225278-2.65234866) × cos(1.22473356) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.339196629810007 × 6371000     		do = 207.198763330319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65225278-2.65234866) × cos(1.22470104) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.339227221698606 × 6371000     		du = 207.217450430746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22473356)-sin(1.22470104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339196629810007-0.339227221698606)×R²
    abs(2.65234866-2.65225278)×3.05918885987744e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.05918885987744e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.05918885987744e-05×40589641000000     		ar = 42930.3950513549m²