Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60429 / 84047
↖ ↑ ↗
← S 45.242019°
W 14.026795°		 ← 215.05 m → S 45.242019°
W 14.024048°		 →
↑
215.02 m
↓
↑
215.02 m
↓
S 45.243953°
W 14.026795°		 ← 215.05 m →
46 240 m²		 S 45.243953°
W 14.024048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461040496826172 y=0.641231536865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461040496826172 × 217)
    floor (0.461040496826172 × 131072)
    floor (60429.5)     		tx = 60429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641231536865234 × 217)
    floor (0.641231536865234 × 131072)
    floor (84047.5)     		ty = 84047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60429 / 84047 ti = "17/60429/84047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60429/84047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60429 ÷ 217
    60429 ÷ 131072     		x = 0.461036682128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84047 ÷ 217
    84047 ÷ 131072     		y = 0.641227722167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461036682128906 × 2 - 1) × π
    -0.0779266357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24481375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641227722167969 × 2 - 1) × π
    -0.282455444335938 × 3.1415926535     		Φ = -0.887359948866859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24481375} λ = -0.24481375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.887359948866859))-π/2
    2×atan(0.411741337306564)-π/2
    2×0.390587062709621-π/2
    0.781174125419241-1.57079632675     		φ = -0.78962220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24481375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.026795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78962220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.242019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60429 KachelY 84047 -0.24481375 -0.78962220 -14.026795 -45.242019
    Oben rechts KachelX + 1 60430 KachelY 84047 -0.24476581 -0.78962220 -14.024048 -45.242019
    Unten links KachelX 60429 KachelY + 1 84048 -0.24481375 -0.78965595 -14.026795 -45.243953
    Unten rechts KachelX + 1 60430 KachelY + 1 84048 -0.24476581 -0.78965595 -14.024048 -45.243953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78962220--0.78965595) × R
    3.37499999999435e-05 × 6371000     		dl = 215.02124999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78962220--0.78965595) × R
    3.37499999999435e-05 × 6371000     		dr = 215.02124999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24481375--0.24476581) × cos(-0.78962220) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.704113636881251 × 6371000     		do = 215.054428588531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24481375--0.24476581) × cos(-0.78965595) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.704089671033564 × 6371000     		du = 215.047108801766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78962220)-sin(-0.78965595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704113636881251-0.704089671033564)×R²
    abs(-0.24476581--0.24481375)×2.39658476878235e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39658476878235e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39658476878235e-05×40589641000000     		ar = 46240.4851024907m²