Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60429 / 56367
↖ ↑ ↗
← N 24.409639°
W 14.026795°		 ← 278.13 m → N 24.409639°
W 14.024048°		 →
↑
278.09 m
↓
↑
278.09 m
↓
N 24.407138°
W 14.026795°		 ← 278.13 m →
77 346 m²		 N 24.407138°
W 14.024048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461040496826172 y=0.430049896240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461040496826172 × 217)
    floor (0.461040496826172 × 131072)
    floor (60429.5)     		tx = 60429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430049896240234 × 217)
    floor (0.430049896240234 × 131072)
    floor (56367.5)     		ty = 56367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60429 / 56367 ti = "17/60429/56367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60429/56367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60429 ÷ 217
    60429 ÷ 131072     		x = 0.461036682128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56367 ÷ 217
    56367 ÷ 131072     		y = 0.430046081542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461036682128906 × 2 - 1) × π
    -0.0779266357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24481375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430046081542969 × 2 - 1) × π
    0.139907836914062 × 3.1415926535     		Φ = 0.439533432616295
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24481375} λ = -0.24481375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.439533432616295))-π/2
    2×atan(1.55198294494109)-π/2
    2×0.998412448443821-π/2
    1.99682489688764-1.57079632675     		φ = 0.42602857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24481375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.026795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42602857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.409639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60429 KachelY 56367 -0.24481375 0.42602857 -14.026795 24.409639
    Oben rechts KachelX + 1 60430 KachelY 56367 -0.24476581 0.42602857 -14.024048 24.409639
    Unten links KachelX 60429 KachelY + 1 56368 -0.24481375 0.42598492 -14.026795 24.407138
    Unten rechts KachelX + 1 60430 KachelY + 1 56368 -0.24476581 0.42598492 -14.024048 24.407138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42602857-0.42598492) × R
    4.36500000000062e-05 × 6371000     		dl = 278.094150000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42602857-0.42598492) × R
    4.36500000000062e-05 × 6371000     		dr = 278.094150000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24481375--0.24476581) × cos(0.42602857) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.91061415032282 × 6371000     		do = 278.125000716797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24481375--0.24476581) × cos(0.42598492) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.910632188150882 × 6371000     		du = 278.130509933781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42602857)-sin(0.42598492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91061415032282-0.910632188150882)×R²
    abs(-0.24476581--0.24481375)×1.80378280622007e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.80378280622007e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.80378280622007e-05×40589641000000     		ar = 77345.7017208549m²