Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60429 / 40147
↖ ↑ ↗
← N 57.012328°
W 14.026795°		 ← 166.29 m → N 57.012328°
W 14.024048°		 →
↑
166.28 m
↓
↑
166.28 m
↓
N 57.010833°
W 14.026795°		 ← 166.30 m →
27 652 m²		 N 57.010833°
W 14.024048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461040496826172 y=0.306301116943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461040496826172 × 217)
    floor (0.461040496826172 × 131072)
    floor (60429.5)     		tx = 60429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306301116943359 × 217)
    floor (0.306301116943359 × 131072)
    floor (40147.5)     		ty = 40147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60429 / 40147 ti = "17/60429/40147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60429/40147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60429 ÷ 217
    60429 ÷ 131072     		x = 0.461036682128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40147 ÷ 217
    40147 ÷ 131072     		y = 0.306297302246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461036682128906 × 2 - 1) × π
    -0.0779266357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24481375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306297302246094 × 2 - 1) × π
    0.387405395507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.21706994445361
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24481375} λ = -0.24481375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21706994445361))-π/2
    2×atan(3.37727761111052)-π/2
    2×1.28292458306585-π/2
    2.5658491661317-1.57079632675     		φ = 0.99505284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24481375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.026795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99505284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.012328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60429 KachelY 40147 -0.24481375 0.99505284 -14.026795 57.012328
    Oben rechts KachelX + 1 60430 KachelY 40147 -0.24476581 0.99505284 -14.024048 57.012328
    Unten links KachelX 60429 KachelY + 1 40148 -0.24481375 0.99502674 -14.026795 57.010833
    Unten rechts KachelX + 1 60430 KachelY + 1 40148 -0.24476581 0.99502674 -14.024048 57.010833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99505284-0.99502674) × R
    2.61000000000289e-05 × 6371000     		dl = 166.283100000184m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99505284-0.99502674) × R
    2.61000000000289e-05 × 6371000     		dr = 166.283100000184m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24481375--0.24476581) × cos(0.99505284) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544458568712907 × 6371000     		do = 166.291661248468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24481375--0.24476581) × cos(0.99502674) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.544480460887383 × 6371000     		du = 166.298347682057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99505284)-sin(0.99502674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544458568712907-0.544480460887383)×R²
    abs(-0.24476581--0.24481375)×2.18921744756795e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18921744756795e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18921744756795e-05×40589641000000     		ar = 27652.048858476m²