Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60427 / 39907
↖ ↑ ↗
← N 57.369496°
W 14.032288°		 ← 164.69 m → N 57.369496°
W 14.029541°		 →
↑
164.69 m
↓
↑
164.69 m
↓
N 57.368015°
W 14.032288°		 ← 164.70 m →
27 124 m²		 N 57.368015°
W 14.029541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461025238037109 y=0.304470062255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461025238037109 × 217)
    floor (0.461025238037109 × 131072)
    floor (60427.5)     		tx = 60427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304470062255859 × 217)
    floor (0.304470062255859 × 131072)
    floor (39907.5)     		ty = 39907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60427 / 39907 ti = "17/60427/39907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60427/39907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60427 ÷ 217
    60427 ÷ 131072     		x = 0.461021423339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39907 ÷ 217
    39907 ÷ 131072     		y = 0.304466247558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.461021423339844 × 2 - 1) × π
    -0.0779571533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24490962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304466247558594 × 2 - 1) × π
    0.391067504882812 × 3.1415926535     		Φ = 1.22857480036242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24490962} λ = -0.24490962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22857480036242))-π/2
    2×atan(3.41635707413486)-π/2
    2×1.28604145811012-π/2
    2.57208291622025-1.57079632675     		φ = 1.00128659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24490962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.032288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00128659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.369496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60427 KachelY 39907 -0.24490962 1.00128659 -14.032288 57.369496
    Oben rechts KachelX + 1 60428 KachelY 39907 -0.24486168 1.00128659 -14.029541 57.369496
    Unten links KachelX 60427 KachelY + 1 39908 -0.24490962 1.00126074 -14.032288 57.368015
    Unten rechts KachelX + 1 60428 KachelY + 1 39908 -0.24486168 1.00126074 -14.029541 57.368015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00128659-1.00126074) × R
    2.5850000000105e-05 × 6371000     		dl = 164.690350000669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00128659-1.00126074) × R
    2.5850000000105e-05 × 6371000     		dr = 164.690350000669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24490962--0.24486168) × cos(1.00128659) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.5392192308276 × 6371000     		do = 164.691432597738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24490962--0.24486168) × cos(1.00126074) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.539241000623951 × 6371000     		du = 164.698081653898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00128659)-sin(1.00126074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5392192308276-0.539241000623951)×R²
    abs(-0.24486168--0.24490962)×2.17697963516006e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.17697963516006e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.17697963516006e-05×40589641000000     		ar = 27123.6371958358m²